初中数学北师大版八年级下册1 因式分解复习练习题

第8讲  因式分解（二）

 知识点1 十字相乘法

对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．

【典例】

例1 （2020秋•香坊区校级期中）如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

【解答】解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，

则k＝1．

故选：C．

【方法总结】

本题考查了因式分解的定义，属于基础题，注意掌握对应相等的应用．

例2（2020秋•南岗区期中）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

【解答】解：由题意得，x2+kx+6＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，

则可得k＝5．

故选：D．

【方法总结】

本题考查了因式分解的定义，属于基础题，注意掌握对应相等的应用．

例3 （2020春•江阴市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）．请你分析一下a、b的值，并写出正确的因式分解过程．

【解答】解：∵甲看错了b，所以a正确，

∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，

∴a＝6，

∵因为乙看错了a，所以b正确

∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，

∴b＝9，

∴x2+6x+9＝（x+3）2．

【方法总结】

此题主要考查了分组分解法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020•淄川区二模）把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（　　）

A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4

【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，

则C＝3．

故选：B．

2．（2020春•铜仁市期末）多项式x2+mx+6可因式分解为（x﹣2）（x﹣3），则m的值为（　　）

A．6 B．±5 C．5 D．﹣5

【解答】解：根据题意得：x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，

则m的值为﹣5．

故选：D．

3．（2020春•马鞍山期末）若关于x的二次三项式x2﹣4x+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则b的值为（　　）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3

【解答】解：由题意得：x2﹣4x+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，

∴b＝3，

故选：B．

知识点2 分组分解法

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

【典例】

例1（2020•雨花区校级模拟）因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝　（m﹣y）（m+x）　．

【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx）

＝m（m﹣y）+x（m﹣y）

＝（m﹣y）（m+x），

故答案为：（m﹣y）（m+x）．

【方法总结】

此题考查了因式分解﹣分组分解法，对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题采用的是两两分组法．

例2（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　（x﹣2y）（x+y﹣2）　．

【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），

＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），

＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．

故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．

【方法总结】

此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．

【随堂练习】

1．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝　（y+x+1）（y﹣x﹣1）　．

【解答】解：y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1）＝y2﹣（x+1）2＝（y+x+1）（y﹣x﹣1）．

故答案为：（y+x+1）（y﹣x﹣1）．

2．（2020春•温江区校级月考）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）　．

【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2

＝（m﹣1）2﹣n2

＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．

故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．

知识点3  因式分解的综合应用

【典例】

例1（2020春•西湖区校级期中）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　4　．

【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，

∴m3n+mn3+2m2n2

＝mn（m2+2mn+n2）

＝mn（m+n）2

＝1×22

＝4．

故答案为：4．

【方法总结】

本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法以及完全平方公式是解答本题的关键．

例2（2020春•蚌埠期末）已知a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac

＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac

＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）

当a＝2012x+2011、b＝2012x+2012、c＝2012x+2013时，

原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2

＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2

＝3．

故选：D．

【方法总结】

此题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．

【随堂练习】

1．（2020秋•渝中区校级月考）已知x+y，xy，则x2y+xy2的值为（　　）

A．2 B．9 C．3 D．6

【解答】解：∵x+y，xy，

∴x2y+xy2＝xy（x+y）．

故选：C．

2．（2020春•扬中市期中）已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，

所求式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），

[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，

[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，

[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，

＝3．

故选：C．

3．（2020春•城固县期末）先分解因式，再求值：已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值．

【解答】解：原式＝3[（x+3y）2﹣4（2x﹣y）2]

＝3[（x+3y）+2（2x﹣y）][（x+3y）﹣2（2x﹣y）]

＝3（x+3y+4x﹣2y）（x+3y﹣4x+2y）

＝3（5x+y）（﹣3x+5y），

当5x+y＝2，5y﹣3x＝3时，

原式＝3×2×3＝18．

   综合运用

1．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　﹣3　．

【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），

∴（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，则a＝6，

∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），

∴（x+l）（x+9）＝x2+10x+9，则b＝9，

故a﹣b＝6﹣9＝﹣3．

故答案为：﹣3．

2．（2020春•相城区期中）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求nm的值．

【解答】解：∵（x+3）（x+n）

＝x2+nx+3x+3n

＝x2+（n+3）x+3n

＝x2+mx﹣15，

∴3n＝﹣15，n+3＝m，

∴n＝﹣5，m＝﹣2，

∴nm＝（﹣5）﹣2．

3．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）

【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4

＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）

＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）

＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；

方法二：x3﹣4x2+6x﹣4

＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4

＝x（x﹣2）2+2x﹣4

＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．

4．（2020春•富平县期末）先阅读下列材料，再解答下列问题

分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1

将：将a+b看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2

再将M换原，得原式＝（a+b﹣1）2

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：

（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2．

（2）（n2+3n+2）（n2+3n）+1．

【解答】解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2＝[（3a+2b）+（2a﹣3b）][（3a+2b）﹣（2a+3b）]

＝（5a+5b）（a﹣b）

＝5（a+b）（a﹣b）；

（2）设M＝n2+3n

则原式＝（M+2）M+1

＝M2+2M+1

＝（M+1）2，

所以（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．

5．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．

解：∵a2＝3﹣a

∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12

∵a2+a＝3

∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9

∴a2（a﹣4）＝9

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．

（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．

【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，

∴a2﹣a＝10，

2（a+4）（a﹣5）

＝2（a2﹣a﹣20）

＝2×（10﹣20）

＝﹣20；

（2）∵x2+4x﹣1＝0，

∴x2+4x＝1，

2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1

＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1

＝2x2﹣4x2﹣8x+1

＝﹣2x2﹣8x+1

＝﹣2（x2+4x）+1

＝﹣2+1

＝﹣1．