第39练 导数的概念、意义及运算-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

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1．（2022·河北·模拟）曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
2．（2022·江西九江·二模）曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则，因为，因此，.
故选：B.
3．（2022·四川成都·二模（理））若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．－4B．－3C．4D．3
【答案】B
【解析】，
所以.
故选：B
4．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为1．
故选：C．
5．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
6．（2022·青海·海东市第一中学模拟（文））已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】解：由题意得：
由可得，求导可得，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点，所以，解得
抛物线方程为，焦点坐标为．
故答案为：
7．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟（理））曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】解：因为，所以，
，所以，
所以切线方程为，即；
故答案为：
8．（2022·贵州遵义·三模（理））已知函数，则在处切线斜率为___________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
9．（2022·江西九江·三模（理））已知直线与曲线相切，则___________.
【答案】
【解析】解：由，所以
设切点为，则，，
消去得，
∵函数在上单调递增，且，∴，此时.
故答案为：
10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟）已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由，得，则．
又，则曲线在点处的切线的方程为，
即，由可得，
所以直线恒过定点．
故答案为：．
1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】解：，，
∴，∴．将代入得，∴．
故选：C．
2．（2022·安徽·合肥一中模拟（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得，即.
故选：C
4．（2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
5．（2022·江苏徐州·模拟）过平面内一点P作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为（不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设
当时，
故切线为：，即
当时，，，
故切线为：，即
两切线垂直，则，则
所以，
，解得
∴.
故选：B．
6．（2022·江西·新余市第一中学模拟（理））若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】解：设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，
因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．
故答案为：
7．（2022·河北沧州·二模）若直线是曲线的一条切线，则实数__________.
【答案】
【解析】因为，所以，令，得，
所以切点为，代入，得.
故答案为：.
8．（2022·山东淄博·模拟）函数在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】由题，，则，
因为，
所以切线方程为，
故答案为：
9．（2022·广东茂名·二模）已知，函数的图象在处的切线方程为 _____．
【答案】
【解析】由得，
所以在处的切线的斜率为，
又，故切点坐标，
所以所求的切线方程为，即，
故答案为：．
10．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
【答案】0.52
【解析】由题可知，
所以，
所以,
即GDP增长的速度大约是.
故答案为：.
1．（2022·河南·模拟（理））已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象经过坐标原点，
所以，所以，
所以
所以．
因为，所以．
所以所求切线方程为，
即．
故选：A.
2．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程是：，即.
故选：C.
3．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.
此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意
故选：B
4．（2022·辽宁大连·一模）若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A．B．0C．-1D．
【答案】C
【解析】由和互为反函数可知，
两条公切线和也互为反函数，
即满足，，即，，
设直线与和分别切于点和，
可得切线方程为和，
整理得：和，则，，
由，得，且，
则，所以，
所以
,
故选：C
5．（2022·河北保定·二模）（多选题）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】解：设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
对于函数，，则，
解得，
所以，即.
对于函数，，
则，
又，
所以，
又，
所以，.
故选：AD
6．（2022·福建·莆田二中模拟）（多选题）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4，4）
B．
C．
D．过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确
对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确
对于C，方法一：
方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误
对于D，设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得，
同理，即两点满足方程：，
所以的方程为：，则D正确，
故选：ABD
7．（2022·河南·模拟（理））过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．
【答案】
【解析】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得
故答案为
8．（2022·河北衡水·二模）在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解.例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，取等条件为，所以的最小值为3.已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为___________；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为___________.
【答案】70 540
【解析】，则在上单增，图像如下所示：
①易知，，所以曲线在处的切线方程为，结合图像易知，所以，
所以，当且仅当时，等号成立；
②曲线在处的切线为，因为，则令此切线过原点，解得或，
所以曲线在处的切线方程为，结合图像易知，所以，
当且仅当或时，等号成立，取，，即的前100项中有60项为3，40项为0时，等号成立.
故答案为：70；540.