第35练 抛物线-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

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1．（2022·福建·莆田华侨中学模拟）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6B．2C．5D．8
【答案】A
【解析】
拋物线的焦点为，
圆，即
所以，圆心为，半径，
F到圆C上点的距离的最大值为.
故选：A.
2．（2022·山东师范大学附中模拟）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，解得：
将代入解析式得：，
所以M点到x轴的距离为．
故选：D．
3．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟）抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由题得，所以抛物线的准线方程为.
设点纵坐标为,则，所以.
故选：A
4．（2022·辽宁辽阳·二模）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为
故选：B
5．（2022·湖北·模拟）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
【答案】
【解析】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
6．（2022·重庆·三模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．
【答案】
【解析】因为抛物线，
所以，∴
所以的准线方程为.
故答案为：
7．（2022·福建龙岩·一模）抛物线上一点到焦点的距离为__________．
【答案】3
【解析】因为，所以点在该抛物线上，
又抛物线的准线方程为：，
所以点到焦点的距离为：，
故答案为：3
8．（2022·北京二中模拟）已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________．
【答案】7
【解析】
设，，
可得，
，
由，带入可得：，
所以，
故答案为：7.
1．（2022·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】解：由抛物线，可知，即（为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，即，
由，可知，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
2．（2022·湖北省仙桃中学模拟）已知的焦点为F，其准线与轴的交点为E，椭圆的左右顶点为A、B， 为线段的两个四等分点，与的交点连线过的焦点，则的离心率 为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，椭圆的焦点在轴，如图所示，
因为为线段的两个四等分点，所以，即.
设与在第一象限的交点为，因为与的交点连线过的焦点，
所以.
将代入得：，
即，与矛盾，舍去.
当时，椭圆的焦点在轴，如图所示，
因为为线段的两个四等分点，所以，即.
设与在第一象限的交点为，因为与的交点连线过的焦点，
所以.
将代入得：，
即，.
故选：A
3．（2022·江苏·模拟）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【解析】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
4．（2022·天津南开·三模）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
所以，
又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，
所以
所以，
故选：A.
5．（2022·江苏省木渎高级中学模拟）已知抛物线，O为原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线两点，满足，过原点O作交AB于点D，当点D的坐标为，则p的值为_________．
【答案】
【解析】直线OD的斜率为，而，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，
由消去x并整理得：，设，则，
因，则，解得，
所以p的值为.
故答案为：
6．（2022·北京四中三模）直线与抛物线C：交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记，其中O为抛物线C的顶点，给出下列命题：
①，使得与平行；
②且 ，使得与垂直；
③ 不可能是等边三角形；
④无论点P在准线上如何运动，总成立.
其中，所有正确命题的序号是___________.
【答案】②③④
【解析】由 ，求得点 ,故 ,
设 ，则 ，,
对于①，当与平行时， ，由可得 ，
即 ，故①错误；
对于②，与垂直时，，即 ，
由可得，解得，故②正确；
对于③，若是等边三角形，因为MN垂直于x轴，
故点P在x轴上，即 ，此时,
故不可能是等边三角形，③正确；
对于④，由可得，④正确，
故答案为：②③④
7．（2022·河北·沧县中学模拟）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】解：
如图，点在抛物线的准线上，
设点在准线上的射影为，由正弦定理和抛物线的性质可知：
，
当直线与抛物线相切时最小，也最小．
设的方程为，与联立得，
由，解得，
当时，．
故的最小值为．
故答案为：.
8．（2022·山东省实验中学模拟）已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．
【答案】23
【解析】解：设，则的中点为，所以，整理得，
即动点的轨迹为抛物线，焦点为，
由直线过抛物线的焦点，则，
其中的证明过程如下：
当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．
由得:，∴，．
当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．
由抛物线的定义知：，，又，所以，且．
所以

圆圆心为，半径1，
，
当且仅当，即，时取等号；
的最小值为23，
故答案为：．
1．（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点，
由题可知，，即抛物线方程为，
令代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
可设，，，
由有
两边平方相减可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2022·河北邯郸·二模）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】由题设知：，而，则，
又AB的中垂线经过点F，则，
不妨设且，则，可得，故，
所以，
综上.
故选：B
3．（2022·重庆·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设知：，，且抛物线E为，
∴直线为，联立抛物线方程有，
整理得：，则，即，
令且，则，
∴，
∴，
令，如上图易知：，即，可得，
∴，又，
∴，整理得，而，
∴，则.
故选：C.
4．（2022·江西·新余市第一中学模拟（理））已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设直线的方程为，，，
.
，
解得：或.
因为位于轴的两侧，所以.
即：，.
设点在轴的上方，则，，.
当且仅当时，即时，取“”号.
所以和的面积之和的最小值为.
故选：A
5．（多选题）（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【解析】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；
B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，
由得，解得，，又，故， ，又，
可得，，故存在直线m，满足 ，选项B不正确．
C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，
直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：
，由代入左式整理得：，
所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．
D选项，如图3，设直线m的方程，
，，，
由，得．当
，即且时，由韦达定理，得
，．
因为，，所以，
又，，所以成立，故D不正确．
故选：AC．
6．（多选题）（2022·广东肇庆·模拟）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32D．当最小时，
【答案】BCD
【解析】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
7．（多选题）（2022·江苏·模拟）已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（ ）
A．的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则的面积为
C．若，则直线l的斜率为2
D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值
【答案】ACD
【解析】由在抛物线C上，得，抛物线C的方程为，．
对于A，过点P作抛物线的准线的垂线PD，垂足为D，
由抛物线的定义知，
即M，P，D三点共线时，取得最小值，为，故A正确．
对于B，因为为AB的中点，所以，，
求得直线l的方程为，则点N到直线l的距离，
则，故B错误；
对于C，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，代入，
得，设，，则，，，同理可得，
所以，
解得，所以直线l的斜率为，故C正确．
对于D，易知点在抛物线上且轴．设，．
易知直线EG，EH的斜率存在，，同理．
因为EF平分，轴，所以，即，
直线，所以，
直线GH的斜率为定值，故D正确．
故选：ACD
8．（2022·北京·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.
【答案】 2
【解析】解：抛物线的焦点，准线为，，
所以焦点到准线的距离为2，
如图，作交准线于点，
因为直线过焦点，
则，
因为，所以轴，
又直线的倾斜角为，
所以，所以，
则.
故答案为：2；
9．（2022·湖南岳阳·二模）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则___________；设点，若恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】如下图所示，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，设，则为锐角，
设抛物线的准线与轴的交点为，则，
由抛物线的定义可知，，，
所以，，
当点的坐标为时，，则，
此时；
当点时，若恒成立，则，
，.
故答案为：；.
10．（2022·海南·嘉积中学模拟）已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.
【答案】
【解析】由抛物线定义，到抛物线的焦点距离为，得，代入方程得，设过点得切线为，联立抛物线得：，由，得，由韦达定理得：
故答案为：，.