高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用多媒体教学ppt课件

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用多媒体教学ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了问题引入，学习新知，两个平面所成的角，即时巩固，因此CM⊥SN，反思感悟，两个平面的夹角等内容，欢迎下载使用。

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.2.能用向量方法解决简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.核心素养：数学推理、数学运算、直观想象.
在必修课程中，我们学习过异面直范围是线所成的角，直线与平范围是面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
一、直线与直线所成的角
图1　　　　　　　 　图2
二、直线与平面所成的角
图1 图2
（1） （2）
图1 图2
1.判断正误(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角. (　　)(3)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.(　　)
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（ ）
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
建立如图所示的空间直角坐标系，
跟踪训练　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（ ）
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
(1)证明：CM⊥SN；
证明　设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
取y＝1，得a＝(2,1，－2).设SN与平面CMN所成的角为θ，
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.
跟踪训练　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
令a＝1可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，
例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.
解　因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
反思感悟 求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.
跟踪训练　如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.
解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
四、空间向量和实际问题例4　如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.
解　由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，
反思感悟 利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为（ ）
解析　设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
解析　如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，
4.若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为（ ）
解析　设α与l所成的角为θ，
5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（ ）
解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
6.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.
解析　设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).
7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
解析　如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).
9.在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____.
解析　平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，
解析　∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
解　连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，