江苏省南京民办求真中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京民办求真中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了下列运算正确的是，计算的结果是，11，计算等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市求真九下3月月考试卷
一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列运算正确的是　　
． ． ． ．
2．计算的结果是　　
． ． ．9 ．11
3．若，其中、为两个连续的整数，则的值为　　
．2 ．5 ．6 ．12
4．若一组数据2，4，6，8，的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 的值可以为　　
．12 ．10 ．2 ．0
5．如图，正方形的边长为6，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图象经过点，若，则的值为　　．
． ． ． ．
（第5题）
6．如图，在菱形纸片中，，将纸片折叠，点、分别落在点、处，且经过点，为折痕，当时，的值为　　

． ． ． ．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分，不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卷相应位置上）
7．使式子有意义的的取值范围是　 　．

8．某病毒的直径约为0.000 000 09米，用科学记数法表示0.000 000 09是 　 　．
9．分解因式的结果是　 　．
10．计算：　 　．
11．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
12．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是，则另一个扇形的圆心角的度数是　___　．
13．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为　__　.
14．如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______.

（第14题）
15．如图，正方形的边长为4，点是上的动点，点在对角线上，若，，则的长为　 　．

（第15题）
16．已知，，是下列函数图象上的点：
①； ②； ③； ④
其中，使不等式总成立的函数有 　 　．（填正确的序号）
三、解答题（共11小题，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组，并写出它的整数解．

18．先化简，再求值：，其中，.

19．如图，在中，、分别是、的中点，过点作，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？为什么？



(第19题)






20．一只不透明的袋子中有2个白球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从这只袋子中随机摸出2个球，将“两个球都是红球”记为事件，设事件的概率为．
（1）求的值；
（2）下列事件中，概率为的是　 　．（只填序号）；
①两个球都是白球； ②两个球一红一白；
③两个球至少一个是白球； ④两个球至少一个是红球．








21．某年级共有300名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

．课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，
．课程成绩在这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数

75.8

84.5

72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为76分，课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 　　（填“”或“” ，理由是 　　，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过75.8分的人数．







22．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，（单位：．有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西的方向，从测得小船在北偏东的方向．
（1）求点到海岸线的距离；
（2）小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离为 　　．
（注：上述两小题的结果都保留根号）












23．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图象如图中的折线段所示．
（1）试求折线段所对应的函数关系式；
（2）请解释图中线段的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）





（第23题）





24．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴是直线　 　；
（2）当时，的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．





25．用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
（1） 如图 1 ，已知，作一个，使得，．

（图1）
（2） 如图2，已知和线段，作一个，使得，．（写出必要文字说明）

（图2）







26．如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若、的长是关于的方程的两实根，且，求的半径．





（第26题）







22．如图，矩形 中，点为对角线上一点，过点作交边于点．

（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连接，探究线段、、的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若面积的最大值为6，求的长．




2022-2023学年南京市求真3月月考试卷
一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列运算正确的是　　
． ． ． ．
【答案】．
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
2．计算的结果是　　
． ． ．9 ．11
【答案】．
【解析】解：原式

．
故选：．
3．若，其中、为两个连续的整数，则的值为　　
．2 ．5 ．6 ．12
【答案】．
【解析】解：，
，即．
，．
．
故选：．
4．若一组数据2，4，6，8，的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 的值可以为　　
．12 ．10 ．2 ．0
【答案】．
【解析】解：5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为；
数据2，4，6，8，的方差比这组数据方差大，则有，
当时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为，满足题意，
故选：．
5．如图，正方形的边长为6，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图象经过点，若，则的值为　　．
． ． ． ．
（第5题）
【答案】．
【解析】解：四边形为正方形，
，
，
，
．
正方形的边长为6，
点，，，
利用待定系数法可求出：
直线的解析式为，直线的解析式为，
联立、的解析式得：，
解得：，
．
函数的图象经过点，
．
故选：．
6．如图，在菱形纸片中，，将纸片折叠，点、分别落在点、处，且经过点，为折痕，当时，的值为　　

． ． ． ．
【答案】．
【解析】解：延长与，交于点，

在菱形纸片中，，
，
，
，
根据折叠的性质，可得，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
则，
，
在△中，，
，
．
故选：．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分，不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卷相应位置上）
7．使式子有意义的的取值范围是　__　．
【答案】．
【解析】解：由题意，得
，
故答案为：．
8．某病毒的直径约为0.000 000 09米，用科学记数法表示0.000 000 09是 　__　．
【答案】．
【解析】解：．
故答案为：．
9．分解因式的结果是　__　．
【答案】．
【解析】解
故答案为：．
10．计算：　 　．
【答案】．
【解析】
故答案为：．
11．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】2．
【解析】解：方程组，
①②得：，即，
代入得：，
解得：，
故答案为：2．
12．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是，则另一个扇形的圆心角的度数是　___　．
【答案】．
【解析】解：一个扇形的面积是，半径为3，
，
解得，
另一个扇形的圆心角的度数是，
故答案为．
13．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为　__　.
【答案】．
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
14．如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______.

（第14题）
【答案】2．
【解析】解：连接、、，

由圆周角定理得，，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可知，，
，
15．如图，正方形的边长为4，点是上的动点，点在对角线上，若，，则的长为　 　．

（第15题）
【答案】．
【解析】如图，连接交于点，
四边形是正方形
，平分，，








.
故答案为：．
16．已知，，是下列函数图象上的点：
①； ②； ③； ④
其中，使不等式总成立的函数有 　 　．（填正确的序号）
【答案】②．
【解析】解：，，是下列函数图象上的点，
①，
则．．，
，，
，故①不合题意；
②，
则．．，
，，
，故②不合题意；
③，
则，
，
，
，，
，
当时，即时，，故③不合题意
④，
则，
，
，
，，
，
，
，故④正确，符合题意．
故答案为：④．
三、解答题（共11小题，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】0，1．
【解析】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0，1．
18．先化简，再求值：，其中，.
【答案】．
【解析】
,
.
19．如图，在中，、分别是、的中点，过点作，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？为什么？



(第19题)
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是菱形．
理由如下：是的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
20．一只不透明的袋子中有2个白球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从这只袋子中随机摸出2个球，将“两个球都是红球”记为事件，设事件的概率为．
（1）求的值；
（2）下列事件中，概率为的是　 　．（只填序号）；
①两个球都是白球； ②两个球一红一白；
③两个球至少一个是白球； ④两个球至少一个是红球．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）列表如下；

白1
白2
红1
红2
红3
白1

白1白2
白1红1
白1红2
白1红3
白2
白2白1

白2红1
白2红2
白2红3
红1
红1白1
红1白2

红1红2
红1红3
红2
红2白1
红2白2
红2红1

红2红3
红3
红3白1
红3白2
红3红1
红3红2

由列表可知共有20种可能，两次都摸到红球的有6种，
所以两个球都是红球的概率为，
，
（2）③，理由：由列表可知，两个球至少一个是白球有14种情况，故概率．
故答案为：③．
21．某年级共有300名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

．课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，
．课程成绩在这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数

75.8

84.5

72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为76分，课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 　　（填“”或“” ，理由是 　　，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过75.8分的人数．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）课程总人数为，
中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在这一组，
中位数在这一组，
这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
课程的中位数为，即；
（2）该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数，
这名学生成绩排名更靠前的课程是，
故答案为：、该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数．
（3）估计课程成绩超过75.8分的人数为人．
22．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，（单位：．有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西的方向，从测得小船在北偏东的方向．
（1）求点到海岸线的距离；
（2）小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离为 　　．
（注：上述两小题的结果都保留根号）




【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图，过点作于点．设．

在中，，，
．
在中，，，
．
，
，
，
点到海岸线的距离为；
（2）如图，过点作于点．
根据题意得：，
在中，，，
．
在中，．
在中，，，
，
点与点之间的距离为．
23．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图象如图中的折线段所示．
（1）试求折线段所对应的函数关系式；
（2）请解释图中线段的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）





（第23题）
【答案】见解析.
【解析】解：（1）线段对应的函数关系式为：
（2）图中线段的实际意义是：
小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；
（3）由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花分钟到达学校，可知小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，故，小明花分钟走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路，故．
妈妈的图象经过，，，如图中折线段就是所作图象．

24．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴是直线　 　；
（2）当时，的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意可得：对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）当时，对称轴为，
当时，有最小值为，当时，有最大值为，
．
，
二次函数的表达式为：；
当时，同理可得
有最大值为；有最小值为，
，
，
二次函数的表达式为：；
综上所述，二次函数的表达式为或；
（3），对称轴为，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，和时的函数值相等，
，时，均满足，
，，
．
25．用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
（1） 如图 1 ，已知，作一个，使得，．

（图1）
（2） 如图2，已知和线段，作一个，使得，．（写出必要文字说明）

（图2）
【答案】见解析.
【解析】解： （1） 如图 2 所示：

作的外接圆，的垂直平分线与的交点为，
则即为所求三角形， （答 案不唯一） ；
（2） 如图 3 ，

①同理作的外接圆，的垂直平分线与的交点为；
②以为圆心， 以为半径作圆， 以为圆心， 以为半径画弧， 交圆于；
③交于，则即为所求；
理由是：，
，
，
，
．
26．如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若、的长是关于的方程的两实根，且，求的半径．





（第26题）
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：，
，
，
，
如图1，连接，，交于，

则，，
在中，，
，
，
是的切线；
方法二：平分，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）证明：如图2，连接，由（1）知是的切线，

，
，
，
，
，
；
（3）解：方程可化为，
、的长是关于的方程的两实根，
，由（2）得，
，
，
由（1）知是的切线，
，
，
，由（1）得，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径为．
22．如图，矩形 中，点为对角线上一点，过点作交边于点．

（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连接，探究线段、、的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若面积的最大值为6，求的长．
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：如图1，

连接，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，

作于，作于，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，设，，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图3，

作于，
设，，，，
，
，
，
，


，
，
，
，
．