北师大版1 函数练习题

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第8讲 一次函数

知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=5x；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y= 中，是一次函数的有________________.
【答案】①②⑥
【解析】解：①y=πx是一次函数；
②y=2x﹣1是一次函数；
③y=5x，未知数出现在分母的位置，不是一次函数；
④原式可化简为y=15，不是一次函数；
⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数，
⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数.
⑦y=，未知数出现在分母位置，不是一次函数.
故事一次函数的有①②⑥
故答案为①②⑥.
【方法总结】
本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：
①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0.
注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置；
②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数.
2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得
&|m|-2=1&m-3≠0，
解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）．
故答案为-3.
【方法总结】
一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．
牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.
【随堂练习】
1．（2017秋•蚌埠期中）当k=_____ 时，函数y=（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数．
【解答】解：由原函数是一次函数得，
k+3≠0 且|k+2|=1
解得：k=﹣1
故答案是：﹣1．
　
2．（2017秋•句容市月考）若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，m=_______　．
【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，
∴2m+1=1，m+3+4≠0，
解得：m=0；
或2m+1=0，
解得：m=﹣；
或m+3=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：=0或﹣或﹣3．
　
3．（2017春•袁州区校级月考）已知y=（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则n=____．
【解答】解：依题意得：n﹣1=1，
解得n=2．
故答案是：2．
　
4．（2017春•双阳区校级月考）m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0）是一次函数？
【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0）是一次函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．

知识点2 一次函数的图像
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（-bk，0）的直线，一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即为一次函数的图像.
【典例】
1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【答案】
【解析】解：（1）根据y=x﹣2可得：

（2）描点：函数图形过两点（0，-2），（2，0）.
（3）连线：过两点画直线，如图所示．

【方法总结】
本题考查了一次函数的图象作法，熟练掌握作一次函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，是解题的关键．
做一次函数图像的理论依据：两点确定一条直线.
【随堂练习】
1．（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、由①可知：，．
直线②经过一、二、三象限，故正确；
、由①可知：，．
直线②经过一、二、三象限，故错误；
、由①可知：，．
直线②经过一、二、四象限，交点不对，故错误；
、由①可知：，，
直线②经过二、三、四象限，故错误．
故选：．
2．（2018秋•瑶海区期末）如图图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、由函数图象可知，解得；
、由函数图象可知，解得；
、由函数图象可知，解得，，无解；
、由函数图象可知，解得．
故选：．
3．（2018秋•西湖区期末）若实数，，满足，且，则函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，且，
，，的正负情况不能确定），
，
函数的图象与轴正半轴相交，
，
函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：．
4．（2019•兴安盟四模）若式子有意义，则一次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：式子有意义，
，解得，
，，
一次函数的图象过一、二、四象限．
故选：．
5．（2018秋•九江期末）两个一次函数与，为常数，且，它们在同一个坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、由①可知：，．
直线②经过一、二、三象限，故错误；
、由①可知：，．
直线②经过一、三、四象限，故正确；
、，故直线不经过原点，故错误；
、由①可知：，，
直线②经过一、三、四象限，故错误．
故选：．
二．解答题（共1小题）
6．（2018秋•沙坪坝区校级期末）如图，在中，，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止，设点运动的路程为．点是射线上一点，，连接．设，．
（1）求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；
（2）补全表格中的值；

1
2
3
4
6

　12　
　　
　　
　　
　　
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在的取值范围内画出的函数图象：

（3）在直角坐标系内直接画出函数图象，结合和的函数图象，求出当时，的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
当时，，
当时，，
即，；
（2），
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
故答案为：12，6，4，3，2，
在的取值范围内画出的函数图象如右图所示；
（3），
则函数图象如右图所示，
当时，得；当时，；
则由图象可得，当时，的取值范围是．

知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
【答案】二、三
【解析】解：当k＞0时，直线y=kx+k（k≠0）经过一、二、三象限；
当k＜0时，直线y=kx+k（k≠0）经过二、三、四象限，
故答案为二、三.
【方法总结】
题目中没有给出k值的正负，所以要分情况讨论.分别求出k>0和k<0时直线所经过的象限，然后找出公共的象限，即所求答案.
本题考查了一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象与k，b的关系，注意：k＞0，函数图象经过第一、三象限；k<0，函数图象经过二、四象限．
2.两条直线y1=ax+b与y2=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、由y1=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y2=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，符合y2=bx+a的图象，故此选项正确；
B、由y1=ax+b的图像知：a＞0，b＞0，所以y2=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2=bx+a的图象，故此选项错误；
C、由y1=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y2=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符合y2=bx+a的图象，故此选项错误；
D、由y1=ax+b知：a＞0，b＞0，所以y2=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2=bx+a的图象，故此选项错误；
故选A.
【方法总结】
先假设选项中的一条直线的图像准确，则由图像经过的象限可得a与b的符号，从而可判断出另一条直线的图像所经过的象限，再与选项所给图形作对比即可判断该选项的正误.
根据k，b的正负，判定一次函数y＝kx＋b图象所过象限：
①k＞0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、三象限；
②k＞0，b＜0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、三、四象限；
③k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、四象限；
④k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第二、三、四象限；
3.一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是________________________.

【答案】1＜m＜2
【解析】解：∵一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，
∴&m-2＜0&m-1＞0，
解得1＜m＜2．
故答案为1＜m＜2.

【方法总结】
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的不等式组，解不等式组即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．直线经过一、三象限时，k＞0时；直线经过二、四象限时，k＜0.直线与y轴正半轴相交时，b＞0；直线过原点时，b=0；直线与y轴负半轴相交时，b＜0.
【随堂练习】
1．（2019春•南岗区期末）一次函数的图象经过　　
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过二、三、四象限．
故选：．
2．（2019春•广丰区期末）一次函数的图象如图，那么下列说法正确的是　　

A．时， B．时， C．时， D．时，
【解答】解：、如图所示，当时，，故本选项错误；
、如图所示，当时，，故本选项错误；
、如图所示，当时，，故本选项错误；
、如图所示，当时，，故本选项正确；
故选：．

3．（2019春•呼兰区校级期末）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第　　象限．
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【解答】解：已知直线经过第一、三、四象限，
则得到，，
那么直线经过第一、二、四象限．
故选：．
4．（2019•涪城区校级自主招生）如图中的直线，，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：为负数，
，
，，的大小关系是．
故选：．
5．（2019春•德州期末）一次函数，若随着的增大而减小，则该函数的图象经过　　
A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四
【解答】解：一次函数，随着的增大而减小，
，即，
该函数图象经过第一、二、四象限．
故选：．
6．（2019•潮南区模拟）已知一次函数，当时，的最大值是　　
A．1.5 B．2 C．2.5 D．
【解答】解：在一次函数中，
随值的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为．
故选：．
7．（2019•杨浦区二模）如果，，那么一次函数的图象经过　　
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【解答】解：，
一次函数的图象经过第二、四象限．
又时，
一次函数的图象与轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：．
二．解答题（共1小题）
8．（2018春•梁山县期末）小东根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数的自变量的取值范围是　全体实数　；
（2）已知：
①当时，；
②当时，
③当时，；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
（3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标，其中　 　；　 　；：



0

1




5
1
0
1


（4）在平面直角坐标系中，作出函数的图象；
（5）根据函数的图象，写出函数的一条性质．

【解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是全体实数；
故答案为全体实数；

（3）、的取值不唯一，取，
把代入，得，
即，．
故答案为3，5；

（4）图象如右：

（5）当时，函数有最小值0．

知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2的位置关系：

平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．
【典例】
1.已知直线l：y=﹣12x+1，请分别写出一条与直线l互相平行、互相垂直的直线的解析式：______________，_______________.
【答案】y=﹣12x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
【解析】解： 在直线l：y=﹣12x+1中，k=﹣12，b=1，
若直线与l互相平行，则一次项系数=﹣12，常数项≠1，
∴与l互相平行的直线的解析式可以为y=﹣12x﹣1（答案不唯一），
若直线与l互相垂直，则一次项系数=-1÷（﹣12）=2，常数项为任意值，
∴与l互相垂直的直线的解析式可以为y=2x﹣1（答案不唯一），
故答案为y=﹣12x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
【方法总结】
两直线平行，则k值相等，b值不相等；两直线垂直，则k值的乘积为-1.对于后者初中阶段不做研究，但经常用到，方便解题，要求记住结论并能运用.
【随堂练习】
1．（2019春•阳东区期末）已知关于的一次函数的图象如图所示，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意：，
．
故选：．
2．（2019春•北碚区校级月考）一次函数的图象经过点和点，其中，那么、应满足的条件是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
【解答】解：一次函数的图象经过点和点，其中，
，
解得，，
，
，
，
故选：．
3．（2018秋•杭州期末）在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：
甲认为当时，随的增大而减小；
乙认为无论取何值，函数必定经过定点，．
则下列判断正确的是　　
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【解答】解：当时，，即随的增大而减小，故甲的说法正确；
在中，当时，，
即无论取何值，函数必定经过定点，，故乙的说法正确．
故选：．
4．（2019•永年区一模）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范图是　　
A． B． C． D．
【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得．
故选：．
5．（2019•安次区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，若直线与菱形有交点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．且
【解答】解：如图，在直线中，令，则，
直线经过定点，
由菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，
可得，，
易得直线的解析式为，直线的解析式为，
直线与菱形有交点，
的取值范围是，
故选：．

6．（2019•莲湖区模拟）已知一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得
，
解得．
故选：．
二．填空题（共6小题）
7．（2019•南关区校级一模）如图，过点的线与图中的四边形有不少两个交点，其、、、，则的值可以是　　．（写出一个满足条什的值即可）．

【解答】解：当直线经过点和点时，
设直线解析式为，

解得
直线的解析式为，
当时，，
点也在直线上，
当直线经过点和点时，
设直线解析式为，

解得
直线的解析式为，
综上所述：．
故答案为：．
8．（2019春•黄石港区期末）如果关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是　　．
【解答】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，
．
故答案为：；
9．（2019春•黔东南州期末）如图，过点的直线与图中的四边形有不少于两个交点，其中、、、，则的取值范围　　．

【解答】解：直线过点，
，
．
当直线的图象过点时，
，；
当直线的图象过点时，
，；
当直线的图象过点时，
，，
的取值范围是．
故答案为．
10．（2018秋•淮安区期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是　　．
【解答】解：的函数值随的增大而增大，
，
解得．
故答案为：．
11．（2018秋•柯桥区期末）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则直线不经过的象限是　第三象限　．
【解答】解：由一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
直线经过第一、二、四象限，
直线不经过第三象限，
故答案为：第三象限
12．（2018秋•九龙坡区期末）在一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围为　　．
【解答】解：一次函数中随的增大而减小，
，
解得，；
故答案是：．
三．解答题（共2小题）
13．（2019春•怀柔区期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离“，记作．特别的，当图形，有公共点时，记作．
一次函数的图象为，与轴交点为，中，，，．
（1）求（点，　1　；当时，求　　；
（2）若．直接写出的取值范围；
（3）函数的图象记为，若，求出的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交点，
（点，表示点到的最小距离，就是点到点的距离，即：，
（点，
当时，直线，此时直线与所在的直线平行，且和均是等腰直角三角形，
表示直线到的最小距离，就是图中的，
在等腰直角三角形中，，

故答案为：1，；
（2）若．说明直线与
有公共点，因此有两种情况，即：或，仅有一个公共点时如图所示，即直线过点，或过点，
此时可求出或，根据直线与有公共点，
或，
答：若时．的取值范围为：或．

（3）函数的图象与轴、轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数的图象与平行，
当时，如图所示：
在中，，则，，；即：；
同理：，，即：，
若，即的值在、之间

答：若，的取值范围为．



14．（2019春•路北区期中）已知一次函数．
（1）若函数图象经过原点，求的值；
（2）若随的增大而增大，求的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得 ；
（2）根据题意，得，
解得 ．

综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当k＞0时，两条直线都是从左到右上升的，而且两条直线交y中轴与正半轴，四个选项都不符合题意；
∴k＜0，只有选项A正确，
故选A.
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y=13x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次函数的个数为_______.
【答案】2
【解析】解：①y=﹣2x是正比例函数，也是一次函数，
②y=﹣3x2+1,未知数的次数不是1，不是一次函数，
③y=13x﹣2是一次函数．
④y=（x+3）（x+2）- x2化简得y=5x+6，是一次函数
故答案为3.
3.若函数y=(m-2)xm2-3+4是一次函数，则m的值为______________.
【答案】-2
【解析】解：∵函数y=(m-2)xm2-3+4是一次函数，
∴m2﹣3=1，m﹣2≠0，
解得：m=±2，且m≠2，
又∵
∴m=-2.
故答案为-2.
4.已知直线l1：y=2x+1，l2：y＝−12x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直线与l1平行，则该直线的未知数的系数为_____________.
【答案】相互垂直 2
【解析】解：∵2×（−12）=-1，
∴两直线互相垂直.
∵直线与l1平行，
∴该直线的未知数的系数与l1相同，为2.
故答案为互相垂直，2.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
【答案】二
【解析】解：∵一次函数y=kx﹣3中y随x的增大而增大，
∴k>0,
∴它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为二.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.

【答案】m＜2
【解析】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为m＜2．
7.关于函数y=12x-3，下列结论中正确的是_____________________.
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
【答案】②③
【解析】解：①∵当x=1时，y=12×1﹣3=﹣52≠﹣2，
∴点（1，﹣2）不在一次函数的图象上，故结论错误；
②∵k=12＞0，b=﹣3＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限，故结论正确；
③∵k=12＞0，
∴此函数的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，故结论正确．
故选答案为②③.
8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．
【答案】
【解析】解：函数y=2x﹣1，
①列表：

②描点：函数图形过两点（0，﹣1），（1，1），
③画线：过两点画直线，如图所示．