初中数学北师大版八年级上册1 函数课后练习题

第7讲  正比例函数

知识点1 正比例函数的概念

正比例函数：一般地，形如（为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中是自变量，是因变量，是的函数.

【典例】

1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（　　）

A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系

B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系

C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系

D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米

2.已知，如果y是x的正比例函数，求m的值.

【方法总结】

1.判断某两个变量之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.

2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.

【随堂练习】

1．（2019春•迁安市期末）若关于的函数是正比例函数，则，应满足的条件是　　

A．且 B．且 C． D．

2．（2019•曲靖模拟）若是正比例函数，则的值是　　

A．0 B． C．2 D．

3．（2019春•开福区校级月考）若函数为常数）是正比例函数，则的值为　　

A． B． C． D．

4．（2019春•呼兰区校级期末）若函数为常数）是正比例函数，则的值是　　．

知识点2 正比例函数的图象与性质

正比例函数（为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.

当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；

当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.

注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.

【典例】

1.画出下列函数图象，并写出函数性质：

（1）；（2）．

2.已知函数，，， ．

（1）在同一坐标系内画出函数的图象．

（2）探索发现：

观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与轴的位置关系有何变化？

（3）灵活运用

已知正比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为____________．

【方法总结】

1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；

2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.

3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的值的大小时，只需比较每条直线与轴所夹锐角的大小，锐角越大，越大，分别确定一、三象限中的大小和二、四象限中的大小，再按照“一、三象限的值>二、四象限的值”将值的大小进行最终排序.

【随堂练习】

1．（2018秋•临安区期末）在同一坐标系中，函数与的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

2．（2019春•永年区期末）定义运算为：如：，则函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

3．（2019•城步县模拟）正比例函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

4．（2019春•河东区期末）下列函数中，随的增大而减小的函数是　　

A． B． C． D．

5．（2018秋•秦淮区校级期末）设，表示，两个数中的最大值，例如，，，，则关于的函数，可以是　　

A． B． 

C． D．

6．（2019•鄠邑区校级三模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么一次函数的图象经过　　

A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 

C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限

7．（2019春•洛南县期末）关于正比例函数，下列结论正确的是　　

A．图象不经过原点 B．随的增大而增大 

C．图象经过第二、四象限 D．当时，

8．（2019•莲湖区模拟）正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则的值为　　

A．2 B． C． D．4

二．填空题（共3小题）

9．（2019春•武安市期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为　　，点的坐标为　　．

10．（2019•本溪）函数的图象经过的象限是　　．

11．（2019•静安区二模）已知正比例函数，那么的值随的值增大而　　．（填“增大”或“减小”

三．解答题（共1小题）

12．（2019•沙坪坝区校级三模）小岚根据学习函数的经验，对一个未知函数的图象与性质进行了探究．

已知：，其中，与成一次函数关系，当时，；当时，．

（1）根据给定的条件，求与的函数关系式；

（2）写出函数与合适的几组对应值，并根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象：

（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出关于的方程的实数解为　　（结果保留一位小数）．

知识点3 正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【典例】

1．（2017秋•常熟市校级期中）若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．

2．（2018春•廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，

（1）请你求出该正比例函数的解析式；

（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；

（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？

【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。

【随堂练习】

1．（2019春•端州区期末）已知正比例函数图象经过点，则该函数的解析式为　　．

2．（2019春•禄劝县期末）若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的解析式为　　．

3．（2019春•黄冈期末）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是　　．

4．（2018秋•奉化区期末）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　．

5．（2018•甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，的坐标分别为，．若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为　　．

   综合运用

1．（2016秋•宜兴市校级月考）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．

2．（2018•昭平县一模）y=x，下列结论正确的是（　　）

A．函数图象必经过点（1，2）

B．函数图象必经过第二、四象限

C．不论x取何值，总有y＞0

D．y随x的增大而增大

3．（2017•曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2018春•廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是______．

5．（2017春•南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（　　）

A．y=2x

B．y=x+3

C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3

D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3