2022年广东省深圳市南山外国语学校文华学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省深圳市南山外国语学校文华学校中考数学一模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市南山外国语学校文华学校中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数中最小的数是（      ）
A．2 B．0 C． D．
2．世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为（  ）
A．5.17×109 B．5.17×108 C．0.517×1010 D．0.517×109
3．下列运算正确的是（  ）
A．x·x2= x2 B．x2﹣y2 =(x﹣y) 2 C．(﹣2x2) 3 =﹣8x6 D．x2+ x2= x4
4．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（    ）

A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）
A． B． C． D．
6．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（    ）

A．百 B．党 C．年 D．喜
7．已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，那么x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1
8．某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．给出以下结论：①6≤n≤8；②对称轴是直线x＝2；③当时，抛物线的开口最大；④二次函数的最大值可取到6．其中正确结论的个数为（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题
11．因式分解： _____.
12．二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是直线x=_____．
13．若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是________．
14．二次函数的图象与一次函数的图象如图所示，当时，根据图象写出的取值范围_____．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D在同一直线上，连接AD，若AB=，则sin∠CAD=____．


三、解答题
16．计算： ．
17．解方程:
18．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？
A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督   B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志
C．签订“永不酒驾”保证书    D．希望交警加大检查力度
E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任

根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m=　 　；
（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？
19．如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
20．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60，宽40，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

（1）若丝绸花边的面积(阴影面积)为650，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天还需支付各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少．
21．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．

22．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯，约把∠三等分的操作如下：
（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图像，图像与的边交于点；
（3）以点为圆心，为半径作弧，交函数的图像于点；
（4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；
（5）作射线，交于点，得到．


(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)证明：、、三点共线；
(3)证明：．

参考答案：
1．D
【分析】正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】∵,
∴所给实数中，最小的是-2．
故选：D．
【点睛】此题了考查了比较实数的大小，解此题的关键是明确，正实数>0>负实数，负实数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．C
【分析】根据同底数幂的乘法法则、平方差公式、积的乘方法则和合并同类项的知识逐项判断即可．
【详解】A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、平方差公式、积的乘方法则和合并同类项的知识，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．D
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC=9，
∴AC=3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【详解】解：由题意，得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
6．B
【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
7．B
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【详解】解：∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，
∴x1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x2＝﹣1÷2，x3＝﹣1÷3．
∴x1＞x3＞x2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标．
8．D
【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，列出方程即可解答．
【详解】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，
根据题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．C
【分析】先根据可得，再根据即可判断①；根据二次函数的对称轴是直线即可判断②；先求出的取值范围，再根据二次函数的图象与轴的交点位置可得的取值范围，从而可得的取值范围，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得的取值范围，最后根据抛物线的开口大小与的值的关系即可判断③；先求出当时，二次函数取得最大值，最大值为，再根据的取值范围求出的取值范围，由此即可判断④．
【详解】解：由得：，
，
，
，
，结论①正确；
二次函数的图象与轴交于两点，且，
此二次函数的对称轴是直线，结论②正确；
，
，
，
二次函数的图象与轴的正半轴交点在与之间（含端点），
，
，
，
又二次函数的图象与轴交于两点，
是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
由二次函数图象的开口向下得：，
则的值越大，抛物线的开口越大，
所以当时，抛物线的开口最小；当时，抛物线的开口最大，结论③正确；
此二次函数的对称轴是直线，
当时，为最大值，且，
最大值，
由得：，
又，
，
则二次函数的最大值不可取到6，结论④错误；
综上，正确结论的个数为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
10．B
【详解】①利用翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；③等腰三角形性质，∠EBP＝∠EPB．根据折叠性质得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性质得出∠PBC＝∠BPH．再根据平行线性质得出AD∥BC即可解决；④构造全等三角形即可解决问题；⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用反证法可解决问题．
【解答】解：∵折痕为EF，
∴四边形EBCF与四边形EPGF全等
∴BE=PE，
故①正确；
如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵FK⊥AB，
∴∠FKB=90°，
∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF为对称轴，点B与点P为对称点，
∴EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，
∴∠ABP＝∠EFK，
在△ABP和△KFE中，
，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
∵BE=PE，
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．故③正确；
如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
∴∠PQB=∠HQB=90°，

由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△APB和△QPB中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP＝QP，AB=QB，
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
∵∠HQB=90°，∠C=90°
在Rt△BCH和Rt△BQH中
，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH＝QH，
∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；
设EF与BP的交点为点N，如图4，

∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，
∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，
∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH，
即∠PBM＝45°，
由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，
∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，
∴∠MFH+∠DPN＝180°，
∵∠DPN+∠APN＝180°，
∴∠APN＝∠MFH，
假设MH=MF，
∴∠MHF=∠MFH=∠APB，
在△ABP和△CBH中，
，
∴△ABP≌△CBH（AAS），
∴∠ABP=∠CBH，
∵∠ABP+∠CBH=45°，
∴∠ABP=∠CBH=22.5°，
∵点P在AD上，
∴0≤∠ABP≤45°，
∴∠ABP=22.5°与0≤∠ABP≤45°相矛盾，
∴假设不正确，故⑤错误．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键．
11．
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．1
【分析】根据二次函数的对称轴公式可以求得y=ax2﹣2ax+3的对称轴，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+3
∴此抛物线的对称轴为：，
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．
13．13
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB＝即可得到菱形的边长．
【详解】解：如图，BD＝10，AC＝24，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键．
14．
【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出时，的取值范围．
【详解】解：当时，即一次函数的图象在二次函数的图象的上面，
可得的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．
15．
【分析】先解等腰直角三角形ABC，得出BC=AB=，AC=AB=．再解Rt△ABD，得出AD=2AB=2，BD=AB=3，那么CD=BD﹣BC=3﹣．过C点作CE⊥AD于E．根据S△ACD=AD•CE=CD•AB，求出CE=，然后在Rt△AEC中利用正弦函数的定义即可求出sin∠CAD的值．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=，
∴BC=AB=，AC=AB=．
∵在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，AB=，
∴AD=2AB=2，BD=AB=3，
∴CD=BD﹣BC=3﹣．
过C点作CE⊥AD于E．

∵S△ACD=AD•CE=CD•AB，
∴CE=

=，
∴sin∠CAD==．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，利用面积公式求出EC的长是解题的关键．
16．
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握各三角函数值及运算顺序是解题的关键．
17．;
【详解】试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
试题解析：
∵a=2,b=3,c=-5  
       △  
       
  
18．（1）12；（2）1350人；（3）
【分析】（1）由选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；
（2）利用总人数5000乘以对应的百分比即可求得；
（3）利用概率公式即可求解
【详解】（1）调查的总人数是：（人），
则选择D方式的人数（人），
．
补全条形统计图如下：

（2）该市支持选项B的司机大约有：（人）；
（3）小李抽中的概率．
【点睛】考点：1、条形统计图；2、扇形统计图；3、用样本估计总体；4、概率
19．(1)证明见解析
(2)12

【分析】（1）由矩形的性质可得，欲求，证即可．通过已知条件求出四边形为就可以证明．
（2）根据等腰三角形的性质求出长度，利用锐角三角函数求得长，再根据勾股定理求出长度，根据矩形的面积公式求出面积．
【详解】（1）证明：在矩形中，

又
四边形为
，
又为矩形，
，
，
故；
（2）为矩形，
，
，
，
，
，
在中，，

，
在中，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是矩形的性质和三角函数余弦值，涉及到的知识点有勾股定理、等腰三角形的性质以及平行四边形的判定．本题中是否能熟练掌握矩形的特殊性质、能否通过等腰三角形的求出长度以及是否能掌握余弦值的定义是解题的关键，本题难度不大，但综合性较强．
20．（1）5cm；（2）当售价为70元时有最大利润22000元
【分析】（1）通过表示空白部分的面积建立等量关系求解；
（2）设每件工艺品定价元出售，获利元，根据题意得出二次函数关系，再将二次函数配方成顶点式，同时根据公司每天至少要销售800件建立不等关系得出的取值范围，然后根据增减性求最大值即可．
【详解】解：(1)设花边的宽度为,根据题意得：

解得: 或(舍去)
答：丝绸花边的宽度为；
(2)设每件工艺品定价元出售，获利元，则根据题意可得：；
销售件数至少为800件，得到：解得：
∴
∵，开口向下，且对称轴是直线
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时，有最大值，
当售价为70元时有最大利润22000元．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的实际应用，根据题意建立等量关系是解题关键．
21．（1）y=-x2+x+2；（2）Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．
【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；
（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；
（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．
【详解】（1）∵二次函数与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得，得    ，
∴二次函数表达式为y=-x2+x+2；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得，
解得，
∴直线BC解析式为y=-x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，-m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，-m2+m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，
即|-m2+m+2-（-m+2）|=2，即|-m2+2m|=2，
当-m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），
当-m2+2m=-2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2-，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，-n+2），P点坐标为（n，-n2+n+2），
∴PD=-n2+2n=n（4-n），DQ=-n+2，
又∵OB=4，
∴BQ=4-n，
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，
∵OQ∥OC，
∴，即，解得BD=，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴，
即，
解得PE=，DE=，
∴S=PE•DE=××=（-n2+4n）2，
令t=-n2+4n=-（n-2）2+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t=4时，Smax=×42=，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质．在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用Q点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键．本题知识点多，计算量大，难度较大．
.
22．(1)四边形是矩形，证明见解析
(2)、、三点共线，证明见解析
(3)，证明见解析

【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得，可得，由，可求，可得结论．
【详解】（1）证明：轴，轴，轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
轴轴，轴，轴，
，
四边形是矩形；
（2）解：设点，点，
点，点，
直线的解析式为：，
当时，，
点在直线上，即、、三点共线；
（3）解：、、三点共线，
四边形是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，证明四边形是矩形是解题的关键．