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试卷 2021年广东省深圳市南山外国语学校中考数学一模试卷
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这是一份试卷 2021年广东省深圳市南山外国语学校中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.B．C．﹣1D．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“80纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7毫米B．8×10﹣6毫米
C．8×10﹣5毫米D．80×10﹣6毫米
3．（3分）如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．整数和分数统称为有理数
B．b2是三次单项式
C．0没有倒数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
5．（3分）为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．300名学生是总体
B．300是样本容量
C．30名学生是抽取的一个样本
D．30是样本容量
6．（3分）将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
7．（3分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
8．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x≤4B．2≤x＜4C．2＜x＜4D．2≤x≤4
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
12．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝＝3，由公式提供的信息，数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是 ．
13．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于 ．
14．（3分）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 ．
15．（3分）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（10分）（1）计算：tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）先化简，再求值：•，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
17．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生，条形统计图中m＝ ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
18．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求值：m＝ ，n＝ ；
（2）点D为OB延长线上一点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，直线EB与y轴交于点F，求点F的坐标．
20．（9分）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
21．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m．
①点M从点C出发在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求运动时间为多少时，△CMN的面积最大，并求出最大面积；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省深圳市南山外国语学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.B．C．﹣1D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“80纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7毫米B．8×10﹣6毫米
C．8×10﹣5毫米D．80×10﹣6毫米
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000001毫米，
∴80纳米＝0.00008毫米＝8×10﹣5毫米．
故选：C．
3．（3分）如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分线是虚线；
故选：D．
4．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．整数和分数统称为有理数
B．b2是三次单项式
C．0没有倒数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
【分析】根据有理数，单项式，倒数的定义以及正负数分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、整数和分数统称为有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
B、b2是二次单项式，说法不正确，故本选项符合题意；
C、0没有倒数，说法正确，故本选项不符合题意；
D、若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数，有可能是零或正数，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．300名学生是总体
B．300是样本容量
C．30名学生是抽取的一个样本
D．30是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、300名七年级学生的睡眠时间是总体，故本选项不合题意；
B、30是样本容量，故本选项不合题意；
C、30名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D、30是样本容量，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠ADG的度数．
【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠BGD＝45°，
又∵∠ADG是△BDG的外角，∠B＝30°，
∴∠ADG＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°，
故选：B．
7．（3分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
【分析】设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，
由题意得：，
两式相加得：2a＝150，
解得：a＝75，
故选：B．
8．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x≤4B．2≤x＜4C．2＜x＜4D．2≤x≤4
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意，得：，
解得：2＜x≤4．
故选：A．
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x＝3时，y＝0，得到3a+3＝0，即2a+3＝﹣a＞0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【解答】解：A、根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+3＝0，
∴9a﹣6a+3＝0，
∴3a+3＝0，
∵抛物线开口向下，则a＜0，
∴2a+3＝﹣a＞0，
∴a＞﹣，故B正确；
C，点A关于x＝1对称的点是A′为（3，0），即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵A（﹣1，0），B（0，3），A′（3，0），
∴AB＝，BA′＝3．即△PAB周长的最小值是+3，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故D正确；
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；
②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；
③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16；
④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．
【解答】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝＝＝20，
BE＝＝＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝＝＝，
∴sin∠PCB＝＝，
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，共4个，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
12．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝＝3，由公式提供的信息，数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是 ．
【分析】根据已知条件得出这组数据为2、3、3、4，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式求出方差，然后根据若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，得出数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差，然后再开方即可得出标准差．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
则这组数据的平均数是（2+3+3+4）＝3，
∵数据2，3，3，4的方差是：[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝，
∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差是，
∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是．
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于 3 ．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先求出△ABC的各边及CD的长，利用三角形的面积公式再求出BD的长，最后在直角三角形中求出∠ACB的正切值．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵AB＝5，AC＝＝，BC＝＝5，
∴CD＝．
∵S△ABC＝15﹣﹣×4×3＝，
S△ABC＝×AC×DB，
∴××BD＝，
∴BD＝＝．
在Rt△BCD中，
tan∠ACB＝＝3．
故答案为：3．
14．（3分）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 ﹣4＜x＜﹣2 ．
【分析】求出直线y＝nx+4n与x轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∴y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4，
∴不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为4＜x＜﹣2．
故答案为：﹣4＜x＜﹣2．
15．（3分）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
【分析】先求出k＝3，再由△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解．
【解答】解：设点B（s，t），则st＝12，
∵M是OB的中点，
∴点M（s，t），
则k＝s•t＝st＝3，
连接OD，如图所示：
∵BA⊥y轴，
∴BA∥OF，
∴△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×12﹣×3＝，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（10分）（1）计算：tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）先化简，再求值：•，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，再根据a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，可以求得a的值，然后选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1
＝12﹣2×+1﹣（﹣2）
＝1﹣1+1+2
＝3；
（2）•
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴1＜a＜5，
又∵a为整数，
∴a＝2，3或4，
∵a（a﹣3）≠0，（a+2）（a﹣2）≠0，
∴a≠0，a≠3，a≠±2，
∴a＝4，
当a＝4时，原式＝＝1．
17．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生，条形统计图中m＝ 18 ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 300 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；再利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；
（2）利用1500乘以不了解“概率发展的历史背景”的人所占的比例即可求解；
（3）画出树状图即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【解答】（1）由题目图表提供的信息可知总人数为：24÷40%＝60（名），
m＝60﹣12﹣24﹣6＝18，
故答案为：60，18；
（2）1500×＝300（名），
即该校初三共有学生1500名，则该校约有300名学生不了解“概率发展的历史背景”，
故答案为：300；
（3）画树形图得：
∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．
18．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
【分析】（1）先由等边三角形的“三线合一“性质得出BH＝CH，再结合EH＝FH，可判定四边形EBFC是平行四边形，再利用“三线合一“性质证得BE＝CE，从而可得结论；
（2）先判定△BEC为等腰直角三角形，再利用CE＝BC×sin45°计算即可．
【解答】解：（1）证明：在等边△ABC中，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵EH＝FH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵E在AH上，AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，则∠BEC＝90°，
又∵BE＝CE，
∴△BEC为等腰直角三角形，
在等边△ABC中，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CE＝BC×sin45°
＝2×
＝．
∴CE的长为．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求值：m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）点D为OB延长线上一点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，直线EB与y轴交于点F，求点F的坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
（2）作AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，证明△AMD≌△DNE，设D（k，0），则MD＝NE＝k﹣2，DN＝AM＝4，ON＝k+4，设直线BE为y＝ax+b，将点B、E的坐标代入y＝ax+b，即可求解．
【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6，
故答案为：2，6；
（2）作AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，
∵AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADM+∠EDN＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM＝∠EDN，
在△AMD和△DNE中，
，
∴△AMD≌△DNE（AAS），
∴AM＝DN，MD＝NE，
设D（k，0），则MD＝NE＝k﹣2，DN＝AM＝4，ON＝k+4，
∴点E（k+4，k﹣2），
∵一次函数y＝﹣x+6图象与x轴交于点B，
∴点B（6，0），
设直线BE为y＝ax+b，将点B、E的坐标代入y＝ax+b，
，
解得：，
∴直线BE为y＝x﹣6，
∵x＝0时，y＝﹣6，
∴点F的坐标为（0，﹣6）．
20．（9分）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
【分析】（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．
【解答】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，
由题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验x＝60是方程的解，
∴x＝60，140﹣x＝80，
答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，
由题意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，
解得：y1＝12，y2＝18，
∵y≤200×8%，即y≤16，
∴y＝12，200﹣y＝188，
答：每吨燃料棒售价应为188元．
21．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
【分析】（1）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；
（3）由（2）知AB2＝BC•BE，据此知AB＝8，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝8．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，
∴AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m．
①点M从点C出发在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求运动时间为多少时，△CMN的面积最大，并求出最大面积；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求得结果；
（2）①首先求出点C坐标，而后求出BC解析式，求出∠GCO＝45°，然后用t表示HM和NC，表示出△NMC的面积后即可求出结果；
②分两种情况讨论：第一种点P在直线BC下方，第二种点P在直线BC上方，然后求出BC中点坐标，进而求出BC的中垂线解析式，中垂线解析式与抛物线的交点即为点P．
【解答】解（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+6x+5；
（2）①过点M作MH⊥OA于点H，BC 与y轴交于点G，
设C（m，0），
∴（﹣5）m＝5，
∴m＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴OC＝1，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将点B（﹣4，﹣3），C（﹣1，0）代入得，
，
解得：，
∴G（0，1），
∴OG＝OC＝1，
∴∠GCO＝45°，
∴∠HCM＝∠GCO＝45°，
∵CM＝2t，
∴HM＝CM•sin45°＝2t＝，
∵NC＝AC﹣AN＝4﹣t，
∴S△NMC＝＝＝，
∵a＝﹣＜0，
∴当t＝﹣＝2时，△MNC面积的最大值为2，
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（，），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC的中垂线解析式为：y＝﹣x+m，
将点（，﹣）代入得，
m＝﹣4，
∴直线BC的中垂线的解析式为：y＝﹣x﹣4，
同理直线CD的解析式为：y＝2x+2，
联立得：，
∴，
∴点H坐标（﹣2，﹣2），
同理得BH的解析式为：y＝，
联立得：，
∴x＝或﹣4（﹣4舍去），
∴点P坐标（，﹣），
当点P（P'）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP'∥CD，
则直线BP'的解析式为：y＝2x+s，
将点B坐标代入上式得，s＝5，
∴直线BP'的解析式为：y＝2x+5，
联立得：，
解得：x＝0或x＝﹣4（﹣4舍去），
∴点P坐标（0，5），
综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（0，5）．
1．（3分）在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.B．C．﹣1D．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“80纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7毫米B．8×10﹣6毫米
C．8×10﹣5毫米D．80×10﹣6毫米
3．（3分）如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．整数和分数统称为有理数
B．b2是三次单项式
C．0没有倒数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
5．（3分）为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．300名学生是总体
B．300是样本容量
C．30名学生是抽取的一个样本
D．30是样本容量
6．（3分）将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
7．（3分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
8．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x≤4B．2≤x＜4C．2＜x＜4D．2≤x≤4
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
12．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝＝3，由公式提供的信息，数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是 ．
13．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于 ．
14．（3分）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 ．
15．（3分）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（10分）（1）计算：tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）先化简，再求值：•，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
17．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生，条形统计图中m＝ ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
18．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求值：m＝ ，n＝ ；
（2）点D为OB延长线上一点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，直线EB与y轴交于点F，求点F的坐标．
20．（9分）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
21．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m．
①点M从点C出发在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求运动时间为多少时，△CMN的面积最大，并求出最大面积；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省深圳市南山外国语学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.B．C．﹣1D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“80纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7毫米B．8×10﹣6毫米
C．8×10﹣5毫米D．80×10﹣6毫米
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000001毫米，
∴80纳米＝0.00008毫米＝8×10﹣5毫米．
故选：C．
3．（3分）如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分线是虚线；
故选：D．
4．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．整数和分数统称为有理数
B．b2是三次单项式
C．0没有倒数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
【分析】根据有理数，单项式，倒数的定义以及正负数分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、整数和分数统称为有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
B、b2是二次单项式，说法不正确，故本选项符合题意；
C、0没有倒数，说法正确，故本选项不符合题意；
D、若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数，有可能是零或正数，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．300名学生是总体
B．300是样本容量
C．30名学生是抽取的一个样本
D．30是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、300名七年级学生的睡眠时间是总体，故本选项不合题意；
B、30是样本容量，故本选项不合题意；
C、30名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D、30是样本容量，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠ADG的度数．
【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠BGD＝45°，
又∵∠ADG是△BDG的外角，∠B＝30°，
∴∠ADG＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°，
故选：B．
7．（3分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
【分析】设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，
由题意得：，
两式相加得：2a＝150，
解得：a＝75，
故选：B．
8．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x≤4B．2≤x＜4C．2＜x＜4D．2≤x≤4
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意，得：，
解得：2＜x≤4．
故选：A．
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x＝3时，y＝0，得到3a+3＝0，即2a+3＝﹣a＞0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【解答】解：A、根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+3＝0，
∴9a﹣6a+3＝0，
∴3a+3＝0，
∵抛物线开口向下，则a＜0，
∴2a+3＝﹣a＞0，
∴a＞﹣，故B正确；
C，点A关于x＝1对称的点是A′为（3，0），即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵A（﹣1，0），B（0，3），A′（3，0），
∴AB＝，BA′＝3．即△PAB周长的最小值是+3，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故D正确；
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；
②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；
③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16；
④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．
【解答】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝＝＝20，
BE＝＝＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝＝＝，
∴sin∠PCB＝＝，
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，共4个，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
12．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝＝3，由公式提供的信息，数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是 ．
【分析】根据已知条件得出这组数据为2、3、3、4，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式求出方差，然后根据若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，得出数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差，然后再开方即可得出标准差．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
则这组数据的平均数是（2+3+3+4）＝3，
∵数据2，3，3，4的方差是：[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝，
∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差是，
∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是．
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于 3 ．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先求出△ABC的各边及CD的长，利用三角形的面积公式再求出BD的长，最后在直角三角形中求出∠ACB的正切值．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵AB＝5，AC＝＝，BC＝＝5，
∴CD＝．
∵S△ABC＝15﹣﹣×4×3＝，
S△ABC＝×AC×DB，
∴××BD＝，
∴BD＝＝．
在Rt△BCD中，
tan∠ACB＝＝3．
故答案为：3．
14．（3分）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 ﹣4＜x＜﹣2 ．
【分析】求出直线y＝nx+4n与x轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∴y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4，
∴不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为4＜x＜﹣2．
故答案为：﹣4＜x＜﹣2．
15．（3分）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
【分析】先求出k＝3，再由△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解．
【解答】解：设点B（s，t），则st＝12，
∵M是OB的中点，
∴点M（s，t），
则k＝s•t＝st＝3，
连接OD，如图所示：
∵BA⊥y轴，
∴BA∥OF，
∴△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×12﹣×3＝，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（10分）（1）计算：tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）先化简，再求值：•，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，再根据a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，可以求得a的值，然后选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）tan245°﹣2cs60°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1
＝12﹣2×+1﹣（﹣2）
＝1﹣1+1+2
＝3；
（2）•
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴1＜a＜5，
又∵a为整数，
∴a＝2，3或4，
∵a（a﹣3）≠0，（a+2）（a﹣2）≠0，
∴a≠0，a≠3，a≠±2，
∴a＝4，
当a＝4时，原式＝＝1．
17．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生，条形统计图中m＝ 18 ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 300 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；再利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；
（2）利用1500乘以不了解“概率发展的历史背景”的人所占的比例即可求解；
（3）画出树状图即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【解答】（1）由题目图表提供的信息可知总人数为：24÷40%＝60（名），
m＝60﹣12﹣24﹣6＝18，
故答案为：60，18；
（2）1500×＝300（名），
即该校初三共有学生1500名，则该校约有300名学生不了解“概率发展的历史背景”，
故答案为：300；
（3）画树形图得：
∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．
18．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
【分析】（1）先由等边三角形的“三线合一“性质得出BH＝CH，再结合EH＝FH，可判定四边形EBFC是平行四边形，再利用“三线合一“性质证得BE＝CE，从而可得结论；
（2）先判定△BEC为等腰直角三角形，再利用CE＝BC×sin45°计算即可．
【解答】解：（1）证明：在等边△ABC中，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵EH＝FH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵E在AH上，AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，则∠BEC＝90°，
又∵BE＝CE，
∴△BEC为等腰直角三角形，
在等边△ABC中，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CE＝BC×sin45°
＝2×
＝．
∴CE的长为．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求值：m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）点D为OB延长线上一点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，直线EB与y轴交于点F，求点F的坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
（2）作AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，证明△AMD≌△DNE，设D（k，0），则MD＝NE＝k﹣2，DN＝AM＝4，ON＝k+4，设直线BE为y＝ax+b，将点B、E的坐标代入y＝ax+b，即可求解．
【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6，
故答案为：2，6；
（2）作AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，
∵AM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADM+∠EDN＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM＝∠EDN，
在△AMD和△DNE中，
，
∴△AMD≌△DNE（AAS），
∴AM＝DN，MD＝NE，
设D（k，0），则MD＝NE＝k﹣2，DN＝AM＝4，ON＝k+4，
∴点E（k+4，k﹣2），
∵一次函数y＝﹣x+6图象与x轴交于点B，
∴点B（6，0），
设直线BE为y＝ax+b，将点B、E的坐标代入y＝ax+b，
，
解得：，
∴直线BE为y＝x﹣6，
∵x＝0时，y＝﹣6，
∴点F的坐标为（0，﹣6）．
20．（9分）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
【分析】（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．
【解答】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，
由题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验x＝60是方程的解，
∴x＝60，140﹣x＝80，
答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，
由题意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，
解得：y1＝12，y2＝18，
∵y≤200×8%，即y≤16，
∴y＝12，200﹣y＝188，
答：每吨燃料棒售价应为188元．
21．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
【分析】（1）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；
（3）由（2）知AB2＝BC•BE，据此知AB＝8，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝8．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，
∴AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m．
①点M从点C出发在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求运动时间为多少时，△CMN的面积最大，并求出最大面积；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求得结果；
（2）①首先求出点C坐标，而后求出BC解析式，求出∠GCO＝45°，然后用t表示HM和NC，表示出△NMC的面积后即可求出结果；
②分两种情况讨论：第一种点P在直线BC下方，第二种点P在直线BC上方，然后求出BC中点坐标，进而求出BC的中垂线解析式，中垂线解析式与抛物线的交点即为点P．
【解答】解（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+6x+5；
（2）①过点M作MH⊥OA于点H，BC 与y轴交于点G，
设C（m，0），
∴（﹣5）m＝5，
∴m＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴OC＝1，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将点B（﹣4，﹣3），C（﹣1，0）代入得，
，
解得：，
∴G（0，1），
∴OG＝OC＝1，
∴∠GCO＝45°，
∴∠HCM＝∠GCO＝45°，
∵CM＝2t，
∴HM＝CM•sin45°＝2t＝，
∵NC＝AC﹣AN＝4﹣t，
∴S△NMC＝＝＝，
∵a＝﹣＜0，
∴当t＝﹣＝2时，△MNC面积的最大值为2，
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（，），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC的中垂线解析式为：y＝﹣x+m，
将点（，﹣）代入得，
m＝﹣4，
∴直线BC的中垂线的解析式为：y＝﹣x﹣4，
同理直线CD的解析式为：y＝2x+2，
联立得：，
∴，
∴点H坐标（﹣2，﹣2），
同理得BH的解析式为：y＝，
联立得：，
∴x＝或﹣4（﹣4舍去），
∴点P坐标（，﹣），
当点P（P'）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP'∥CD，
则直线BP'的解析式为：y＝2x+s，
将点B坐标代入上式得，s＝5，
∴直线BP'的解析式为：y＝2x+5，
联立得：，
解得：x＝0或x＝﹣4（﹣4舍去），
∴点P坐标（0，5），
综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（0，5）．
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