精品解析：2022年广东省深圳市南山外国语学校中考数学模拟试卷

2022年广东省深圳市南山外国语学校中考

数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知、互为相反数，、互为倒数，则代数式的值为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可以得到a+b＝0，cd＝1，然后代入所求式子计算即可．

【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，

∴a+b＝0，cd＝1，

∴5（a+b）﹣2cd

＝5×0﹣2×1

＝0﹣2

＝﹣2，

故选：B．

【点睛】本题考查了相反数和倒数，有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b、cd的值．

2. 三个小正方体搭成的几何体如图所示，从正面看这个几何体，看到的图形是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】从正面观察可得答案．

【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二从右边一个小正方形，

故选：C．

【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，具备良好的空间想象能力是解答本题的关键．

3. 抗震救灾大型募捐活动中，深圳市慈善会捐款亿元．用科学记数法表示“亿”应记为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：亿=．

故选C．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

4. 一组数据2，0，1，4，3，这组数据的方差是(    )

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出方差即可．

【详解】解：∵平均数=×（2+0+1+4+3）=2，
s2= ×[（2-2）2+（0-2）2+（1-2）2+（4-2）2+（3-2）2]=2.
故选：A．

【点睛】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．

5. 下列交通标志是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形定义可得答案．

【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

6. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则计算，然后解答即可．

【详解】解：A. ，故选项错误；

B. ，故选项错误；

C. ，故选项错误；

D. ，故选项正确；

故选D．

【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则，熟悉相关法则是解题的关键．

7. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的可能取值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据第二象限内点的特征计算即可；

【详解】解：由点在第二象限，得，

解得，

故选：．

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的特征，准确计算是解题的关键．

8. 温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据“原计划所用时间实际所用时间天”可列方程．

详解】解：设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程，

故选：．

【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．

9. 一个不透明的袋子中有2个红球，3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】解：根据题意可得：个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，共9个，

从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为 ，
故选：D．

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

10. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．

【详解】解：∵，

∴xy＝12，

A．（3，−4），此时xy＝3×（−4）＝−12，符合题意；

B、（3，4），此时xy＝3×4＝12，不合题意；

C、（2，6），此时xy＝2×6＝12，不合题意；

D、（−2，−6），此时xy＝−2×（−6）＝12，不合题意；

故选A．

【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 分解因式：_____．

【答案】##

【解析】

【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．

【详解】

，

故答案：．

【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．

12. 如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯，已知一楼与二楼之间的地面高度差为米，扶梯 的坡度，则扶梯的长度为_________米．

【答案】

【解析】

【分析】如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，由题意得：，据此利用勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，

由题意得：，

∴，

∴，

故答案为：7．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和坡度，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

13. 如图，点在以为直径的上，，，则的长为______．

【答案】5

【解析】

【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知∠C=90°，再利用30°直角三角形的特殊性质解出即可．

【详解】解：∵AB是直径，

∴∠C=90°，

∵∠A=30°，

∴．

故答案为：5．

【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°．

14. 某种细菌培养过程中每半小时分裂次，每次一分为二，若这种细菌由个分裂到个，那么这个过程要经过______小时．

【答案】

【解析】

【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个．分裂第二次时，2个就变为了22个．根据有理数的乘方的定义可得．

【详解】解：由题意可得：，

因为每半小时分裂1次，

则这个过程要经过：小时．

故答案为：．

【点睛】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律．

15. 如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中， 的三个顶点均在格点上，则的周长为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据勾股定理分别求出AB，BC，AC的长，从而求出△ABC的周长．

【详解】解：由勾股定理得：AB=，

BC=，

AC= ，

所以△ABC的周长为AB+AC+BC=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

16. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．

【详解】解：原式＝

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．

17. 为了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，扇形统计图中的圆心角为．

体育成绩统计表

根据上面提供的信息，把表格填写完整，并回答下列问题：

（1）抽取的部分学生体育成绩的中位数是______ 分；

（2）已知该校九年级共有名学生，如果体育成绩达分以上含分为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数．

【答案】（1）表格见解析，中位数是28   

（2）300

【解析】

【分析】（1）先求得样本容量，再分别求得各分数的人数，即可求得29分的人数；根据中位数的概念求中位数.

（2）28分以上的人数=50-20=30人，占的比例=30÷50=60%，即可求得该校九年级体育成绩达到优秀的总人数．

【小问1详解】

填写表格中所缺数据如下：

样本容量为8÷16%=50，

得27分的人数=50×24%=12人，

得28分的人数是15人，占的比例=15÷50×100%=30%，

得30分的人占的比例=36°÷360°=10%，得30分的人数=50×10%=5人，

则得29分的人数=50-8-15-5-12=10人，占的比例=10÷50×100%=20%，

小于28分的人数=8+12=20人，而总人数为50人，28分的人有15人，所以中位数为28（分）．

故答案为：28．

【小问2详解】

样本的体育成绩优秀率为60%，成绩达到优秀的总人数500×60%=300（人），

∴估计该校九年级体育成绩达到优秀的总人数为300人．

【点睛】本题考查了统计表，扇形统计图，中位数，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．

18 计算：

（1）计算：；

（2）求不等式组的所有整数解．

【答案】（1）   

（2），整数解为

【解析】

【分析】（1）根据有理数的乘方运算，以及二次根式的除法运算进行计算即可求解；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后求得整数解．

【小问1详解】

解：原式＝

；

【小问2详解】

解：

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：，

∴整数解为

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，二次根式的除法，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．

19. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为上一点，∠BDA＝∠BDC＝60°，AC＝6cm，求△ABC的周长．

【答案】△ABC周长18cm.

【解析】

【分析】根据圆周角定理可以证明△ABC是等边三角形，据此可求得周长．

【详解】解：∵∠BDA＝∠BDC＝60°，

∴∠BCA＝∠BDA＝60°，∠BAC＝∠BDC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∵AC＝6cm，

∴△ABC的周长为：3×6＝18cm．

【点睛】本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定定理，根据圆周角定理找出图形中相等的角是关键．

20. 如图，两幢建筑物和，，，，，和之间有一景观池，小南在点测得池中喷泉处点的俯角为，在点测得点的俯角为（点、、在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离．（结果保留根号）

【答案】．

【解析】

【分析】根据三角函数知识，在中，求出BE，在中，求出ED，即可解决本题.

【详解】解：由题意得：，，

∴在中，，

∴m，

在中，，，m，

∴m，

∴，

答：两幢建筑物之间的距离约为．

【点睛】本题是对解直角三角形实际运用的考查，熟练掌握三角函数知识是解决本题的关键.

21. 已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当点运动到什么位置时，图中矩形是正方形？并求出点的坐标．

（3）是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）A的坐标为   

（3）存在，（2，4）或

【解析】

【分析】（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可．

（2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解．

（3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解．

【小问1详解】

解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E，且OE=4，

∴O（0，0），E（4，0），

∵AB⊥x轴于点B，线段AB的最大值是PM=4．

∴P（2，4），

∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为，

把E（4，0），P（2，4），代入，得

，

解得：，

∴抛物线OPE的解析式为；

【小问2详解】

设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，

∵OM=2，

∴,

BC=2BM=,

∵AB=,

∴,

解得（舍去）．

∴

∴A的坐标为

【小问3详解】

存在．

设点A的坐标为时，△ABO与△PMO相似，

①当∠BAO=∠MPO时，

∵

∴

解得x=2或x=0（舍去），

点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合，

②当∠AOB=∠MPO时，

∴

∴

解得或（舍去），

∴，

∴A的坐标为，

综上所述，当A的坐标为（2，4）或时，△ABO与△PMO相似．

【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程．

22. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．

（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）

（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）2a；（3）

【解析】

【分析】（1）由旋转的性质可得△ABM≌△ACN，从而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，再根据勾股得出AM的长；

（2）将绕点C旋转后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，从而得出的周长

（3）连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．

详解】（1）∵，

∴∠B=∠ACB=45°，

将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得：

△ABM≌△ACN，

∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，

∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°，

∴

∴；

（2）∵，，

∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合，

∴△BCP≌△DCM，

∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，

∵，

∴，

∴，

 ∵PC=CM，QC=QC,

∴△QCP≌△QCM，

∴PQ=QM，

∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，

∵，

∴的周长=2a；

（3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；

∴△BCD≌△B′AD
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，

∵

∴B′E=AE=，
∴BE=AB+AE=2+=，

∴

∵等边△DBB′，∴BB′上的高=，

∴

∴ ，

∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；

【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．