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初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线一课一练
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这是一份初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线一课一练，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
9.5三角形的中位线 课后练习
一、选择题
1、中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
2、（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
3、如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．
则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4、如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6、（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7、（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
8、（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
9、如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
10、（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题
11、如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________
12、（2022春泰州八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
13、如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
14、（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
15、如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
16、如图，四边形中，，，若，，为的中点，
则的长为_______．
17、（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．
18、在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE
三、解答题
19、△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
20、（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．
(1)求证．
(2)若，，求的长度．
21、（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．
(1)求证：；
(2)若，的周长为3，求的周长．
22、（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．
①求∠BMN的度数； ②求BN的长．
23、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
24、（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
25、（2022春·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE=12BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE=12BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
26、（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，D、E、F分别是△ABC各边上的点，四边形ADEF是平行四边形，有三个选项：①D是AB的中点，②E是BC的中点，③F是AC的中点．
(1)请从三个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，并证明．
你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)在（1）的条件下，如图2，点H在BC上，AH⊥BC，连接DH、FH，
①若∠B+∠C=100°，求∠DHF的度数；
②若AB=8，AC=10，连接DF，△DHF的面积为S，直接写出S的取值范围．
9.5三角形的中位线 课后练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级下册
一、选择题
1、中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
【答案】C
解：由题意，画出图形如下：
点D、E分别为AB、AC边的中点，是的中位线，
，故选：C．
2、（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
解：∵AD＝AC，∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，∴，∴E是CD的中点，∵F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，
∴，故答案为：C．
3、如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．
则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
解：∵▱ABCD的周长为20，∴2(BC+AB)=20，则BC+AB=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，，∴OA=OC =AC=4．
∵点E是BC的中点，点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，CE=BC，∴OE=AB，
∴△COE的周长=OC+ CE + OE =AC+ (BC+AB)=4+5=9，故选：B．
4、如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：为的中位线，，
在中，是的中点，，，故选：D．
5、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，∴，
∵点E在BC边上从点B向点C移动，
∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，
∴线段MN的最小值为1.5. 故选：B
6、（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是的中位线， ∴PE= AD，
同理，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF，
∴∠EFP=×（180°-∠EPF）= ×（180°-140°）=20°， 故选：D．
7、（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】C
解：如图，
根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
∵，，，
．原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．
8、（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【答案】D
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
9、如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
【答案】证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．
延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BM为∠ABC的角平分线，∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠AGB，
∴AB＝BG，∴AN＝GN， 同理AC＝CF，AM＝MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故选：D．
10、（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= 12CF,
∴当点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，∴∠DP2P1=90°，∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=2,∴PB的最小值是2，故选：C．
二、填空题
11、如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________
【答案】
【详解】连接AB，
是OA，OB的中点是的中位线
故答案为：100m．
12、（2022春泰州八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
【答案】AB=CD
解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下：
如图所示，连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG是△ABD是中位线∴EG=AB，
同理HF=AB，FG=CD，BH=CD．
又∵AB=CD∴EG=GF=FH=EH．∴四边形EFGH是菱形∴EF⊥GH．故答案为：AB=CD．
13、如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
【答案】17
解：∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=10+7=17．故答案为：17．
14、（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
【答案】
解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得： AB=
∵＝AB⋅CM=AC⋅BC，∴CM＝，∴DE＝CM=，故答案为：．
15、如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
【答案】10
解：过点 P 作 PM∥FE交AD于M ，
如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线，∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，此时PM = AB =6 ， DM=8 ，
在Rt△PMD中，PD =10 ，
当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10．故答案为：10·
16、如图，四边形中，，，若，，为的中点，
则的长为_______．
【答案】
解：延长，使，
四边形是平行四边形，∴DE=AB，
,
是的中点，
为的中点，
故答案为：.
17、（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．
【答案】2.5
解：如图所示。连接AG，CG，
∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，
又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，
∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四边形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，
∵M、N分别是AB，BG的中点，∴MN是△ABG的中位线，
∴MN=12AG=12CG=2.5，故答案为：2.5．
18、在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE
【答案】
解：∵AD是BC边上的高线，AD=6，AB=10，∴∠D=90°，，
∵CE 是AB边上的中线，CD=AE，∴，
取BD的中点F,连接CF，
∴EF为△ABD的中位线，∴,EF//AD，∴∠EFB=∠D=90°，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，,
∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，,
故答案为：．
三、解答题
19、△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
【答案】证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，
同理：FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．
20、（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．
(1)求证．
(2)若，，求的长度．
解：（1）证明：延长CE交AB于F，
∵AM是∠CAB的角平分线， ∴∠CAM=∠BAM，
在△CAE和△FAE中，， ∴△CAE≌△FAE（ASA）， ∴CE=EF，
∵CN=NB， ∴EN是△CFB的中位线， ∴；
（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE， ∴AF=AC=13， ∴BF=AB-AF=24，
∵EN是△CFB的中位线， ∴EN=BF=．
21、（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．
(1)求证：；
(2)若，的周长为3，求的周长．
解：（1）证明：∵，，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，
∵，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF；
（2）∵，∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠A，AB=BC，∴AE=ED，
∵EB=ED，∴AE=EB，即AE=AB，
∵∠A=∠C，∴AB=BC，
∵BD平分∠ABC，∴AD=DC，即AD=AC，∴ED是△ABC的中位线，∴ED=BC，
∵△AED的周长为3，∴△ABC的周长为6．
22、（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．
①求∠BMN的度数； ②求BN的长．
解：（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=12AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=12AC，
又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；
②∵∠BMN=90°，∴BN2=BM2+MN2，
而由（1）知，MN=BM=12AC=12×2=1，∴BN==12+12=2．
23、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
解：(1)证明：如图，连接BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，EH∥BD，，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，
理由如下：如图，连接AC、BD，
由（1）知四边形EFGH为平行四边形，
∵EF∥AC，∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四边形EFGH是矩形．
24、（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
解：（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝12BC．
∵点G、F分别是OB、OC的中点，∴GF∥BC，GF＝12BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）OA＝BC，理由如下：
连接OA．
∵四边形DEFG是菱形，∴DG＝GF，
∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，∴DG＝12OA，GF＝12BC，∴OA＝BC．
25、（2022春·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE=12BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE=12BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
解：（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF，∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AD∥CF，
∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，∴DE∥BC，DF=BC，
∵DE=12DF，∴DE=12BC，即DE∥BC，DE=12BC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，GH∥AC，EH∥BD，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵GH∥AC，∴∠HMO=90°，
∵EH∥GF，∴∠EHM+∠HMO=180°，
∴∠EHM=180°-90°=90°，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，GH=12AC，EH=12BD，
∵AC=BD，∴GH=EH，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等
26、（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，D、E、F分别是△ABC各边上的点，四边形ADEF是平行四边形，有三个选项：①D是AB的中点，②E是BC的中点，③F是AC的中点．
(1)请从三个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，并证明．
你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)在（1）的条件下，如图2，点H在BC上，AH⊥BC，连接DH、FH，
①若∠B+∠C=100°，求∠DHF的度数；
②若AB=8，AC=10，连接DF，△DHF的面积为S，直接写出S的取值范围．
解：（1）选择条件①②，结论为③，证明如下：
∵D是AB的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC，
∵四边形ADEF是平行四边形，∴DE=AF，∴AF=12AC，∴F是AC的中点；
故答案为：①②，③；
同理可证：当①③为条件，②为结论；或②③为条件，①为结论；
（2）①∵AH⊥BC，D为AB的中点，∴DH为Rt△ABH斜边上的中线，
∴DH=AD=12AB，∴∠DAH=∠DHA；
同理：∠FAH=∠FHA，
∴∠DHF =∠DHA+∠FHA=∠DAH+∠FAH=∠BAC=180°−(∠B+∠C)=80°；
②连接DF，如图，
∵D、F分别是AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线
∴DF//BC，∴S△DHF=S△DFE，∴S四边形ADEF=S四边形ADHF，
∵DH、FH分别是Rt△ABH、Rt△ACH斜边上的中线，
∴S△ADH=12S△ABH，S△AFH=12S△ACH，
∴S四边形ADHF=12S△ABH+12S△ACH=12S△ABC，
∵四边形ADEF是平行四边形，∴S△ADF=S△EDF，∴S△ADF=S△EDF=S△DHF=S
∴S=12S四边形ADHF∴S=S△DHF=14S△ABC；
过点B作BM⊥AC于M，则BM≤AB=8，
∴S△ABC=12AC·BM=12×10BM=5BM≤5AB=40
即△ABC面积的最大值为40，∴S≤14×40=10，
∵S>0，∴S的范围为0
9.5三角形的中位线 课后练习
一、选择题
1、中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
2、（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
3、如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．
则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4、如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6、（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7、（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
8、（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
9、如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
10、（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题
11、如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________
12、（2022春泰州八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
13、如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
14、（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
15、如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
16、如图，四边形中，，，若，，为的中点，
则的长为_______．
17、（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．
18、在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE
三、解答题
19、△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
20、（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．
(1)求证．
(2)若，，求的长度．
21、（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．
(1)求证：；
(2)若，的周长为3，求的周长．
22、（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．
①求∠BMN的度数； ②求BN的长．
23、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
24、（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
25、（2022春·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE=12BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE=12BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
26、（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，D、E、F分别是△ABC各边上的点，四边形ADEF是平行四边形，有三个选项：①D是AB的中点，②E是BC的中点，③F是AC的中点．
(1)请从三个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，并证明．
你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)在（1）的条件下，如图2，点H在BC上，AH⊥BC，连接DH、FH，
①若∠B+∠C=100°，求∠DHF的度数；
②若AB=8，AC=10，连接DF，△DHF的面积为S，直接写出S的取值范围．
9.5三角形的中位线 课后练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级下册
一、选择题
1、中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
【答案】C
解：由题意，画出图形如下：
点D、E分别为AB、AC边的中点，是的中位线，
，故选：C．
2、（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
解：∵AD＝AC，∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，∴，∴E是CD的中点，∵F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，
∴，故答案为：C．
3、如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．
则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
解：∵▱ABCD的周长为20，∴2(BC+AB)=20，则BC+AB=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，，∴OA=OC =AC=4．
∵点E是BC的中点，点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，CE=BC，∴OE=AB，
∴△COE的周长=OC+ CE + OE =AC+ (BC+AB)=4+5=9，故选：B．
4、如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：为的中位线，，
在中，是的中点，，，故选：D．
5、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，∴，
∵点E在BC边上从点B向点C移动，
∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，
∴线段MN的最小值为1.5. 故选：B
6、（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是的中位线， ∴PE= AD，
同理，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF，
∴∠EFP=×（180°-∠EPF）= ×（180°-140°）=20°， 故选：D．
7、（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】C
解：如图，
根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
∵，，，
．原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．
8、（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【答案】D
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
9、如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
【答案】证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．
延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BM为∠ABC的角平分线，∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠AGB，
∴AB＝BG，∴AN＝GN， 同理AC＝CF，AM＝MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故选：D．
10、（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= 12CF,
∴当点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，∴∠DP2P1=90°，∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=2,∴PB的最小值是2，故选：C．
二、填空题
11、如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________
【答案】
【详解】连接AB，
是OA，OB的中点是的中位线
故答案为：100m．
12、（2022春泰州八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
【答案】AB=CD
解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下：
如图所示，连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG是△ABD是中位线∴EG=AB，
同理HF=AB，FG=CD，BH=CD．
又∵AB=CD∴EG=GF=FH=EH．∴四边形EFGH是菱形∴EF⊥GH．故答案为：AB=CD．
13、如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
【答案】17
解：∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=10+7=17．故答案为：17．
14、（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
【答案】
解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得： AB=
∵＝AB⋅CM=AC⋅BC，∴CM＝，∴DE＝CM=，故答案为：．
15、如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
【答案】10
解：过点 P 作 PM∥FE交AD于M ，
如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线，∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，此时PM = AB =6 ， DM=8 ，
在Rt△PMD中，PD =10 ，
当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10．故答案为：10·
16、如图，四边形中，，，若，，为的中点，
则的长为_______．
【答案】
解：延长，使，
四边形是平行四边形，∴DE=AB，
,
是的中点，
为的中点，
故答案为：.
17、（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．
【答案】2.5
解：如图所示。连接AG，CG，
∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，
又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，
∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四边形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，
∵M、N分别是AB，BG的中点，∴MN是△ABG的中位线，
∴MN=12AG=12CG=2.5，故答案为：2.5．
18、在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE
【答案】
解：∵AD是BC边上的高线，AD=6，AB=10，∴∠D=90°，，
∵CE 是AB边上的中线，CD=AE，∴，
取BD的中点F,连接CF，
∴EF为△ABD的中位线，∴,EF//AD，∴∠EFB=∠D=90°，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，,
∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，,
故答案为：．
三、解答题
19、△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
【答案】证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，
同理：FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．
20、（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．
(1)求证．
(2)若，，求的长度．
解：（1）证明：延长CE交AB于F，
∵AM是∠CAB的角平分线， ∴∠CAM=∠BAM，
在△CAE和△FAE中，， ∴△CAE≌△FAE（ASA）， ∴CE=EF，
∵CN=NB， ∴EN是△CFB的中位线， ∴；
（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE， ∴AF=AC=13， ∴BF=AB-AF=24，
∵EN是△CFB的中位线， ∴EN=BF=．
21、（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．
(1)求证：；
(2)若，的周长为3，求的周长．
解：（1）证明：∵，，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，
∵，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF；
（2）∵，∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠A，AB=BC，∴AE=ED，
∵EB=ED，∴AE=EB，即AE=AB，
∵∠A=∠C，∴AB=BC，
∵BD平分∠ABC，∴AD=DC，即AD=AC，∴ED是△ABC的中位线，∴ED=BC，
∵△AED的周长为3，∴△ABC的周长为6．
22、（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．
①求∠BMN的度数； ②求BN的长．
解：（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=12AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=12AC，
又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；
②∵∠BMN=90°，∴BN2=BM2+MN2，
而由（1）知，MN=BM=12AC=12×2=1，∴BN==12+12=2．
23、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
解：(1)证明：如图，连接BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，EH∥BD，，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，
理由如下：如图，连接AC、BD，
由（1）知四边形EFGH为平行四边形，
∵EF∥AC，∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四边形EFGH是矩形．
24、（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
解：（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝12BC．
∵点G、F分别是OB、OC的中点，∴GF∥BC，GF＝12BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）OA＝BC，理由如下：
连接OA．
∵四边形DEFG是菱形，∴DG＝GF，
∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，∴DG＝12OA，GF＝12BC，∴OA＝BC．
25、（2022春·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE=12BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE=12BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
解：（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF，∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AD∥CF，
∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，∴DE∥BC，DF=BC，
∵DE=12DF，∴DE=12BC，即DE∥BC，DE=12BC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，GH∥AC，EH∥BD，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵GH∥AC，∴∠HMO=90°，
∵EH∥GF，∴∠EHM+∠HMO=180°，
∴∠EHM=180°-90°=90°，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，GH=12AC，EH=12BD，
∵AC=BD，∴GH=EH，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等
26、（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，D、E、F分别是△ABC各边上的点，四边形ADEF是平行四边形，有三个选项：①D是AB的中点，②E是BC的中点，③F是AC的中点．
(1)请从三个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，并证明．
你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)在（1）的条件下，如图2，点H在BC上，AH⊥BC，连接DH、FH，
①若∠B+∠C=100°，求∠DHF的度数；
②若AB=8，AC=10，连接DF，△DHF的面积为S，直接写出S的取值范围．
解：（1）选择条件①②，结论为③，证明如下：
∵D是AB的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC，
∵四边形ADEF是平行四边形，∴DE=AF，∴AF=12AC，∴F是AC的中点；
故答案为：①②，③；
同理可证：当①③为条件，②为结论；或②③为条件，①为结论；
（2）①∵AH⊥BC，D为AB的中点，∴DH为Rt△ABH斜边上的中线，
∴DH=AD=12AB，∴∠DAH=∠DHA；
同理：∠FAH=∠FHA，
∴∠DHF =∠DHA+∠FHA=∠DAH+∠FAH=∠BAC=180°−(∠B+∠C)=80°；
②连接DF，如图，
∵D、F分别是AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线
∴DF//BC，∴S△DHF=S△DFE，∴S四边形ADEF=S四边形ADHF，
∵DH、FH分别是Rt△ABH、Rt△ACH斜边上的中线，
∴S△ADH=12S△ABH，S△AFH=12S△ACH，
∴S四边形ADHF=12S△ABH+12S△ACH=12S△ABC，
∵四边形ADEF是平行四边形，∴S△ADF=S△EDF，∴S△ADF=S△EDF=S△DHF=S
∴S=12S四边形ADHF∴S=S△DHF=14S△ABC；
过点B作BM⊥AC于M，则BM≤AB=8，
∴S△ABC=12AC·BM=12×10BM=5BM≤5AB=40
即△ABC面积的最大值为40，∴S≤14×40=10，
∵S>0，∴S的范围为0
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