重庆市七校2022-2023学年高二数学上学期期末考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年度第一学期期末七校学情调查

高二数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：   

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．考试结束后，将答题卷交回。

第I卷（选择题  共60分）

一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上.

1．（原创）直线的倾斜角为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．（原创）在等差数列中，是方程的两根，则的值为（    ）

A．2     B．3    C．±2    D．

3．（改编）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，下列结论正确的是（    ）

A．若，则．    B．若，则． 

C．若，则．    D．若，则．

4．（改编）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式。高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第22项为（    ）

A．231    B．232    C．233    D．234

5．（改编）已知直线上，过点向圆引切线，则切线长是（    ）

A．    B．    C．   D．

6．（改编）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（    ）

A．1     B．2    C．3    D．4

7．（改编）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则取最小值时n=（    ）

A．4     B．3或4   C．4或5   D．5

8．（改编）已知EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ）

A．-48    B．-32    C．-16    D．0

二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（原创）已知等差数列的前n项和，其公差则下列结论正确的是（    ）

A．        B． 

C．             D．

10．（改编）在平面直角坐标系中，已知，，，光线从A点发出经线段BC反射与圆相交，则相交弦长度可以是（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

11．（改编）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（    ）

A．平面平面；

B．点到直线的距离；

C．当时，异面直线与所成角的

余弦值为；

D．点A到平面的距离为．

12．（改编）已知椭圆C：，焦点（-c，0），，下顶点为B．过点的直线l与曲线C在第四象限交于点M，且与圆相切，若，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆C上存在点Q，使得；    B．直线l的斜率为；

C．椭圆C与圆A外切；                  D．椭圆的离心率为.

第II卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.

13．（原创）已知直线与，则两直线间的距离为     ．

14．（原创）已知在正方体中，、分别为棱和的中点，且，则实数n的值为          ．

15．（改编）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为          .

16．（改编）已知数列满足，，则          ，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》.）

17．（原创）（本小题满分10分）已知圆过点、，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程;

（2）若过点的直线交圆于、两点，若弦的长为，求直线的方程.

18．（改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上靠近M的三等分点.

（1）证明：；

（2）求直线DQ与平面所成角的正弦值.

19．（改编）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为B，求线段的中点的轨迹方程．

20．（改编）（本小题满分12分）已知数列满足,．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）数列的前项和为，求数列的前项和．

21．（改编）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，点为的中点，点是上一点，且.

（1）求点A到平面的距离；

（2）求平面与平面所成平面角的余弦值.

22．（改编）（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，直线与椭圆C交于点A，B，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点A关于x轴的对称点为，点P是C上与A、不重合的动点，且直线PA，与x轴分别交于G，H两点，O为坐标原点，证明：为定值.

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高二数学答案

13．      14．   15．    16．    5

【15详解】设双曲线上的点满足，即，

又，

，即，

，且，

，

又，实数b的取值范围是.

故答案为：.

【16详解】在数列中，，由得：，而，

于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，

所以数列的通项公式为；则.

显然，，

则，

由得：，即，令，则，即数列是递增数列，

由，得，而，因此，，从而得，，

所以满足不等式的的最小值为5.

17．【详解】（1）设圆M的标准方程为：

由题意得，       ..........................................3分

解得

所以圆M的方程为．      ..........................................5分

（2）当直线l斜率不存在时，其方程为，圆心M到直线l的距离为1，

，符合题意；      ..........................................7分

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为即

则圆心M到直线l的距离为

，解得，直线l方程为 ..................9分

综上，直线的方程为或． ...............................10分

18．【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》如图：

则，，，，，，           .........3分

，，

∵，∴                ..........................................6分

（2）由（1）可知平面的一个法向量为 ..........................................8分

     .........................................10分

∴直线DQ与平面PCD的夹角的正弦值为   .........................................12分

19．【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，

又抛物线的焦点的坐标为，   .........................3分

由题可得：，解得，故抛物线方程为：   .........................6分

（2）设过点与抛物线相切的直线方程为， .................8分

联立抛物线方程可得，

则，又，则，

所以，，      .......................................................10分

设点的坐标为，则，即，代入，

可得，又，故；

则点的轨迹方程为：     .......................................12分

20．【详解】（1）由题知

因为,则,是等比数列。     .........................4分

（2）由（1）得：,即     ..................................5分

当

当,也满足,所以     ...........................................7分

所以

数列的前项和为      ....................................8分

数列的前项和

所以

所以      ....................................................................11分

所以数列的前项和   ............................12分

21．【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：

因为，

所以，，

所以，.

以为原点，分别为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，设，则，，解得，，

即          ............................................3分

，，

设平面的法向量为，

则，令，解得，即.

，设点A到平面的距离为，

则     ..............................................................6分

（2），，

设平面的法向量为，

则，令，解得，

即   ......................................................................................................8分

设，则，，

因为，解得.

设，则，，

因为，解得.

因为点为的中点，所以，.

 ..........................10分

设平面的法向量为，

则，令，解得，

即.

，

因为平面与平面所成平面角为锐角，

所以平面与平面所成平面角的余弦值 ...........................................12分

22．【详解】（1）设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性可得，

所以，得，

因为椭圆的离心率，所以，

所以椭圆的标准方程为     .....................................................4分

（2）设，，则，

所以，，

两式相减得，

直线的方程为，取，得，所以，                                                                                  .....................6分

同理可得，       .............................................8分

所以

所以为定值2       ............................................................12分