重庆市2023—2024学年高一上学期期中七校联考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市2023—2024学年高一上学期期中七校联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卷交回.等内容，欢迎下载使用。

命题学校：重庆市实验中学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求集合的交集运算.
【详解】因为，，
所以，，，，所以.
故选：B
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列不等式确定函数的定义域.
【详解】根据函数的解析式可知，要得到函数的定义域，需满足
，得且，
即函数的定义域为.
故选：C
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
则命题：的否定是：
故选：D.
4. 已知幂函数，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可.
【详解】因为，且，即，解得，
所以，则.
故选：A
5. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，分别代入求值.
【详解】由解析式可知，.
故选：D
6. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可.
【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，
由，得，则排除C、D两项.
故选：A.
7. 若、是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先写出韦达定理，再结合对数运算法则，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
则，
.
故选：B
8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数的性质，以及零点的位置，确定或的解集，在求解不等式的解集.
【详解】在区间上，函数单调递增，且，
所以在区间，，在区间，，
因为函数为奇函数，所以，
在区间，，在区间，，
不等式等价于或，
所以不等式的解集为.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若实数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊值判断B、D，根据指数函数的性质判断A，根据幂函数的性质判断C.
【详解】对于A：因为且在定义域上单调递增，所以，故A正确；
对于B：当，，满足，但是，故B错误；
对于C：因为且在定义域上单调递增，所以，故C正确；
对于D：当时与均无意义，故D错误；
故选：AC
10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为B. 的定义域为
C. 为周期函数D. 为偶函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】由所给定义求出函数的定义域与值域，即可判断A、B，根据周期性的定义判断C，根据偶函数的定义判断D.
【详解】因为，所以的值域为，定义域为，故A错误，B正确；
对于任何一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，
则，
若为无理数，则也为无理数，则，
即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，故C正确；
当为有理数时，为有理数，则，
当为无理数时，为无理数，则，
故为偶函数，故D正确；
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数与是同一函数
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，求出函数的定义域即可判断B、C，根据抽象函数的定义计算规则判断D.
【详解】对于A：由，即，解得或，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，即A正确；
对于B：因为函数，所以，解得，
所以函数的定义域为
因为，则，解得或，
故的定义域为，
函数和函数的定义域不同，故不是同一函数，故B错误；
对于C：由，解得或，
即函数的定义域为，故C错误；
对于D：因为函数的定义域为，所以，
得，故函数的定义域为，故D正确；
故选：AD
12. 已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 在区间上单调递减
C. 的图像关于直线对称
D. 在区间上共有个实根
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先利用赋值，确定，再根据周期函数的性质确定函数的周期，判断A；并利用周期和条件判断B；结合条件和对称性的定义，即可判断C；根据一个周期的零点个数，结合周期，即可判断D.
【详解】令，则，则，
因为函数是R上的偶函数，则，
所以，即，
那么，
所以函数的一个周期为，故A错误；
因为函数在区间上是增函数，且为偶函数，则在区间为减函数，
函数的周期为12，则函数在区间为减函数，故B正确；
因为函数满足，所以函数关于对称，故C正确；
根据以上可知，，且在区间上是增函数，为减函数，
所以函数在一个周期内有2个零点，，
即在区间有168个周期，其中包含336个零点，在区间中，
其中，所以在区间有个零点，
则在区间有个零点，故D正确.
故选：BCD
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：首先求函数的解析式，再求函数值；法二：直接赋值,求函数值.
【详解】法一：令，则，
，
即.
法二：直接令，得.
故答案为：
14. 若、为正实数，且，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意根据指数幂的运算法则得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，即，即，所以，
又、为正实数，所以，
当且仅当，即、时取等号.
故答案为：
15. 已知集合，，且，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出集合，再根据二次函数的性质求出集合，最后根据交集的结果计算可得.
【详解】因为，
，
所以，
又，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：
16. 已知定义域为R的函数，则满足条件的实数的取值范围是____________.
【答案】或.
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再变形不等式，即可求解.
【详解】，所以函数为奇函数，
且单调递增函数，
所以不等式，
则，即，
解得：或.
故答案为：或
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 设集合，，．
（1）若时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，
所以或，
又，所以
【小问2详解】
因为“”是“”充分不必要条件，
所以，
当，即，解得，符合题意；
当时，则，解得，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
综上可得实数的取值范围为.
19. 求解下面两题：
（1）已知关于的不等式的解集为，求不等的解集；
（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理，即可求解，再代入不等式，即可求解；
（2）由不等式恒成立，转化为，即可求解.
【小问1详解】
由不等式的解集为，
则对于方程的两个根分别为或
可知，解得：，
则不等式，等价于，
解得：，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
若对于任意实数，不等式恒成立，
则，解得：
20. （1）已知，求的最小值；
（2）若，且满足条件，求的最小值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）再利用基本不等式可得答案；
（2）再利用基本不等式可得答案．
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即等号成立，
所以当时，的最小值为9；
（2）因为，，所以，，，
则
，
当且仅当，即，等号成立，
所以当，时，的最小值为.
21. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
（1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
【解析】
【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解.
【小问1详解】
设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
【小问2详解】
设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，所以，
当时，，此时.
故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
22. 已知是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）已知函数若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1； （2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义即得值,还需检验；
（2）根据两函数图像有交点等价转化为对应方程由实根，再分离参数，将其转化为直线与新函数的交点问题，结合函数单调性绘制简图即得参数范围.
【小问1详解】
因是定义在上的奇函数，故解得：
此时，
故时，是奇函数.
小问2详解】
由（1）得：
由函数与在上有两个交点可知：方程在上有两个实根，
即：方程在上有两个实根，
设，则，
不妨记，依题意，须使函数与在上有两个交点，
易知，的图像在上单调递减，在单调递增，（证明见人教A版（2019）第79页例3.）且的值在上恒为正数，
故在上单调递增，在单调递减，且时，,如图.
要使函数与在上有两个交点，须使，即实数的取值范围是