高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题11.7   二项分布、正态分布

【知识清单】

一. 条件概率

条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.

在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.

(2)条件概率具有的性质：

①；

② 如果和是两互斥事件，则．

二. 相互独立事件同时发生的概率

 (1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．

(2)若与相互独立，则，

．

(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．

(4)若，则与相互独立．

三. 独立重复试验的概率

1．n次独立重复试验

(1)定义

一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．

(2)公式

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．

四. 二项分布

1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)

于是得到X的分布列

由于表中第二行恰好是二项式展开式

(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．

2.二项分布的期望、方差：

若，则.

若，则．

五. 正态分布

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲　　　　　　　　　　　乙

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．

3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．

4．3σ原则

通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

【考点分类剖析】

考点一 ：  条件概率

【典例1】（2021·全国·高二课时练习）将外形相同的球分做装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．

【总结提升】

解决条件概率问题的步骤

第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．

第二步，计算概率，这里有三种思路：

思路一（定义法）：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)；

思路二（基本事件法）：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝；

思路三（缩减样本空间法）：缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式计算
提醒：要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．

【变式探究】

（2021·全国·高二课时练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（    ）

A． B． C． D．

考点二 ：　相互独立事件同时发生的概率

【典例2】（2021·全国·高二课时练习）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为.若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为；若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为.试求透镜落下三次而未打破的概率.

【典例3】（2019·湖北高二期末（理））某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（    ）

A． B． C． D．

【规律方法】

求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．

(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．

②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

【变式探究】

1.（2019·人大附中石景山学校高一期中）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是(     )

A． B． C． D．

2.【多选题】（2021·全国·高二课时练习）[多选题]从甲袋中摸出个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为

【总结提升】

求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．

(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．

②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

考点三 ：　独立重复试验

【典例4】（多选题）（2020·襄阳市第一中学月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【典例5】（2021·全国·高二课时练习）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮.

（1）求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；

（2）设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望.

【总结提升】

独立重复试验的特点

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. 

(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．

【变式探究】

1.（2019·广东高二期末（理））从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（　　）

A． B．

C． D．

2.（2019·湖北高二期末）总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.6，骑士获胜的概率为0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为_______．

【总结提升】

1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；

3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．

考点四 ：　二项分布及其应用

【典例6】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量服从二项分布，则（    ）．

A． B． C． D．

【典例7】（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立.

（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率；

（2）在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.

【规律方法】

1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))

(1)X的取值为0,1,2，…，n.

(2)P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．

提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．

2. 二项分布满足的条件

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．

4. 牢记且理解事件中常见词语的含义：

(1) 、中至少有一个发生的事件为；

(2) 、都发生的事件为；

(3) 、都不发生的事件为；

(4) 、恰有一个发生的事件为；

(5) 、至多一个发生的事件为.

【变式探究】

1.（2020·山西运城�高二期末（理））经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量，，则______.

【总结提升】

1.在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．

2.解决二项分布问题的两个关注点

(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．

3.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．

4．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．

5.二项分布中的概率最值问题　　

一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0<p<1，则有＝＝1＋(1≤k≤n)，当且仅当k≤(n＋1)p时，P(X＝k)≥P(X＝k－1)，所以P(X＝k)在(n＋1)p的左侧严格递增，右侧严格递减，故有：

(1)如果(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．

(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．

(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．

6.求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．

考点五 ：　与二项分布有关的均值与方差

【典例8】（2021·浙江·学军中学高三期中）甲､乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.设甲嬴的局数为，则___________，___________.

【典例9】（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

【总结提升】

与二项分布有关的期望、方差的求法

(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．

【变式探究】

1.（辽宁高考真题（理））一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

2．（2020·浙江）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

考点六：正态曲线及其性质

【典例10】【多选题】（2021·全国·高二课时练习）已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（    ）

A．曲线与x轴之间的面积为1

B．曲线在处达到峰值

C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移

D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”

【典例11】【多选题】（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量，，其中，下列等式成立有(    )

A． B．

C． D．

【规律方法】

1.求正态曲线的两个方法

(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为．

(2)待定系数法：求出μ，σ便可．

2.正态分布下2类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．

3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．

(2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

(3)注意概率值的求解转化：

①P(X<a)＝1－P(X≥a)；

②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；

③若b<μ，则P(X<b)＝．

特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．

【变式探究】

1.（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学月考（理））某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（    ）

A．997 B．954 C．800 D．683

2．（多选题）（2020·江苏省海头高级中学高二月考）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，则下列命题正确的是（    ）

A．这次考试的数学平均成绩为100

B．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同

C．分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同

D．这次考试的数学成绩方差为10

考点七 ：正态分布的应用

【典例12】（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布.已知，.

（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间的概率；

（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间上的人数为，求的分布列和数学期望（分布列结果可以只列式不计算）.

【典例13】（2020·全国高三其他（理））某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.

（1）求这批树苗的高度高于米的概率，并求图（1）中，，的值；

（2）若从这批树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？

【规律方法】

1.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．

2.求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：

(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．

(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；

(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．

【变式探究】

1.（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试（理））2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标，单位为g，该厂每天生产的质量在的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为（    ）

参考数据：若，则，，．

A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350

2．（2021·全国·高二课时练习）一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者要求“利润不低于5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？

【总结提升】

假设检验的思想　　

(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．

(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．

(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．