高端精品高中数学一轮专题-二项分布与正态分布（讲）教案

二项分布与正态分布

核心素养立意下的命题导向

1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．

2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．

3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素养．

[理清主干知识]

1．条件概率

(1)条件概率的定义

设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

(2)条件概率的性质

①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.

②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互独立事件的概率

(1)相互独立事件的定义及性质

①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

②性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．

(2)独立重复试验概率公式

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

(3)二项分布的定义

在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

3．正态分布

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．

(3)正态曲线的特点

①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

③曲线在x＝μ处达到峰值.

④曲线与x轴之间的面积为1.

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(4)正态分布中的3σ原则

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.

考点一　事件的相互独立性及条件概率

考法(一)　条件概率

[例1]　(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为(　　)

A．0.99%   B．99%

C．49.5%   D．36.5%

[方法技巧]　条件概率的3种求法

考法(二)　事件的相互独立性

[例2]  11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

(1)求P(X＝2)；

(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

[方法技巧]

利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．

(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．

(3)代入概率的积、和公式求解．　　

[针对训练]

1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A.   B.

C.   D.

2．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．

(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；

(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．

考点二　独立重复试验与二项分布

[典例]　“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：

该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．

(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；

(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

[方法技巧]

与二项分布有关的期望、方差的求法

(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b). 　　

[针对训练]

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．

考点三　正态分布

[典例]　为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．

(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；

(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由．

参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841357≈0.2984,0.841 356≈0.354 7,0.158653≈0.0040，0.158654≈0.0006，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973.

[方法技巧]

正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．

(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：

①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；

②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；

③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．　　

[针对训练]

为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．

(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；

(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：

L＝

求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.

一、创新命题视角——学通学活巧迁移

二项分布与超几何分布的辨别方法

[典例]　写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？

(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．

(2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．

(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3.

(4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．

[名师微点]　二项分布与超几何分布的辨别方法

二、创新考查方式——领悟高考新动向

1．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为(　　)

A．0.05　　　　　　　　 B．0.007 5

C.  D．

2．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　)

A．该地水稻的平均株高为100 cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大