高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.3   椭圆

【知识清单】

知识点1．椭圆的定义及其应用

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，

知识点2．椭圆的标准方程

1. 椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

知识点3．椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

知识点4．直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．

2．直线与椭圆的相交长问题：

（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．

（2）弦中点问题，适用“点差法”.

【考点分类剖析】

考点一 ： 椭圆的定义及其应用

【典例1】（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【典例2】（2021·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（    ）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】A

【分析】

设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.

【详解】

设椭圆的左焦点为，则，可得，

所以，

如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，

此时取得最小值，

又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．

故选：A．

【规律方法】

1.应用椭圆的定义，可以得到结论：

（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.

【变式探究】

1.（2020·湖南益阳�高三三模（理））如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由两边平方得，所以，

由椭圆的对称性知四边形为矩形，

又因为，所以，

又因为，

由矩形的面积公式与椭圆的定义得，

解得：，

所以，即是方程 的实数根，

又因为，所以

所以，

所以 .

故选：D.

2.已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则____________.

【答案】

【解析】由知，则由题意，得，可得，即，所以,应填.

【总结提升】

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

考点二 ： 椭圆的标准方程

【典例3】（2021·全国高二单元测试）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.

【详解】

由题意得，解得，

所以椭圆的标准方程是.

故选：A

【典例4】（2021·全国高二课时练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______．

【答案】

【分析】

由已知等式得出关系式，再由可求得值．得椭圆方程．

【详解】

由，得，

化简得．又，所以，所以，

所以椭圆的方程为．

故答案为：．

【总结提升】

1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：

(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．

(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．

(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．

(4)求解，得方程．

2．(1)方程与有相同的离心率．

(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．

【变式探究】

1.（2020·全国高三其他（理））设、为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________.

【答案】

【解析】

设椭圆的焦距为，如下图所示：

由于是面积为的等边三角形，则，

得，即是边长为的等边三角形，

该三角形的周长为，可得，

由椭圆的对称性可知，点、关于轴对称，则且轴，

所以，，，，

，则，因此，椭圆的标准方程为.

故答案为：.

2.求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．

【答案】或

【解析】法一：∵，

设所求椭圆方程为，则，从而，

又，

∴方程为.

若焦点在轴上，设方程为

则，且，

解得.故所求方程为.

法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为

，将点代入，得

，

故所求方程为.

若焦点在轴上，设方程为代入点，得，∴.

综上知，所求椭圆的标准方程为或.

考点三 ： 椭圆的几何性质

【典例5】（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．

【答案】

【分析】

由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解

【详解】

由于是圆，

即：圆

其中圆心为，半径为4

那么椭圆的长轴长为8，即，，，

那么短轴长为

故答案为：

【典例6】（2019·浙江高考模拟）已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】

如图所示，

设切点直线的方程为：．

联立，化为：．

由直线与椭圆相切，可得：．

化为：．

，化为：．

由，可得：，解得，．

由直线的方程为：．．

可得．

．当且仅当时取等号．

设，，．

，

化为：．

，

代入化为：，

．

故答案为：．

【规律方法】

1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧

(1)注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．

(2)利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．

2.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.

【变式探究】

1.（2018·全国高考真题（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

2．（2020·山东泰安�高三其他）【多选题】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为 B．椭圆的短轴长为

C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为

【答案】AD

【解析】

圆的圆心为，半径长为，

由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则，可得，

设椭圆的左焦点为点，由椭圆的定义可得，，

所以，，

当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，

则，，解得，

所以，椭圆的焦距为，A选项正确；

椭圆的短轴长为，B选项错误；

，

当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，C选项错误；

若所求切线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到该直线的距离为，则直线与圆相离，不合乎题意；

若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，

由题意可得，整理得，解得.

D选项正确.

故选：AD.

【总结提升】

1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：

(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．

(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．

(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．

考点四 ：  直线与椭圆的位置关系

【典例7】（2021·湖南高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；

（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.

【详解】

（1）椭圆经过点，所以，

因为离心率为，所以，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由得，解得，

所以，或，

可得，，或者，，

所以.

【典例8】（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，

因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C的标准方程为.

（2）解法一：

由（1）知，椭圆C：，a=2，

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A(1，4).

又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.

由，得，

解得或.

将代入，得，

因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.

由，得，解得或.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.

将代入，得.因此.

解法二：

由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，

从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，

所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

因为F1(-1，0)，由，得.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.

因此.

【规律方法】

1.涉及直线与椭圆的基本题型有：

（1）位置关系的判断

（2）弦长、弦中点问题

（3）轨迹问题

（4）定值、最值及参数范围问题

（5）存在性问题

2．常用思想方法和技巧有：

（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系

3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．

【变式探究】

1.（2020·北京高考真题）已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】

 (1)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，

故椭圆方程为：.

(2)设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，

即：，

则：.

直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.

很明显，且：，注意到：

，

而：

，

故.

从而.

2.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）过点的直线方程为，

则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.

依题意，圆心是线段的中点，且.

易知，不与轴垂直.

设其直线方程为，代入（1）得

.

设，则，.

由，得，解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆的方程为.

【总结提升】

1.弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．

2．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

3.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．

(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．