高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.4   双曲线

1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】

写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率

【详解】

双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

2．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】

，则，，则双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，

因此，双曲线的方程为.

故选：B

3．（2021·山东高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】

易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，

然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.

【详解】

的坐标为，设点坐标为，

易得，解得，

因为直线与轴垂直，且，

所以可得，则，即，

所以，离心率为．

故选：A.

4．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】

设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】

设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=（    ）

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【解析】

∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

6．（全国高考真题（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（      ）．

A.2 B. C.4 D.

【答案】C

【解析】

设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．

7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

由题意结合双曲线的渐近线方程可得：

，解得：，

双曲线方程为：.

本题选择D选项.

8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【分析】

将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】

由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.

【答案】.

【解析】

由已知得，

解得或，

因为，所以.

因为，

所以双曲线的渐近线方程为.

10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．

【答案】

【解析】

由双曲线方程可得其焦点在轴上，

因为其一条渐近线为，

所以，.

故答案为：

1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题可知

在中，

在中,

故选B.

2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由已知得M为的重心，∴，又，∴，即.

故选:D.

3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为为等边三角形，

所以渐近线的倾斜角为，

所以

所以.

故选：A

4．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意可设，根据圆的性质有，利用向量垂直的坐标表示，列方程求即可.

【详解】

由题设，渐近线为，可令，而，，

∴，，又，

∴.

故选：C

5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

双曲线的一条渐近线为，

圆，圆心，半径

因为圆上有且仅有两点到的距离为1，

所以圆心到的距离的范围为

即，

而

所以，即

故选C项.

6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（    ）

A．若，则的离心率为

B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切

C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标

D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小

【答案】ABD

【分析】

由，得到，利用离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C不正确；

由正弦定理得到外接圆的半径为，得出最大时，最小，只需最大，设，得到，结合基本不等式，可判定D正确．

【详解】

对于A中，因为，所以，故的离心率，所以A正确；

对于B中，因为到渐近线的距离为，所以B正确；

对于C中，设内切圆与的边分别切于点，设切点，

当点在双曲线的右支上时，可得

，解得，

当点在双曲线的左支上时，可得，

所以的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确；

对于D中，由正弦定理，可知外接圆的半径为，

所以当最大时，最小，

因为，所以为锐角，故最大，只需最大．

由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

又由

，

当且仅当，即时，取最大值，

由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确．

故选：ABD．

7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的轨迹是椭圆

B．点的轨迹是双曲线

C．当点满足时，的面积

D．当点满足时，的面积

【答案】BCD

【分析】

根据的结果先判断出点的轨迹是双曲线，由此判断AB选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出的值，即可求解出，据此可判断CD选项.

【详解】

依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，

当点在线段的延长线上时，，

当点在线段的延长线上时，，

从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；

选项C，点的轨迹方程为，当时，，

所以，故C对；

选项D，当时，，

所以，故D对，

故选：BCD.

8．（2021·全国高二课时练习）双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．

【答案】

【分析】

根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，即可得答案.

【详解】

因为双曲线的焦距为4，所以．

由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．

又，所以，，

所以双曲线的标准方程为．

故答案为：

9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．

【答案】3

【分析】

在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.

【详解】

解：由已知得．在中，设，则或．

当时，由余弦定理，得，解得，所以．

当时，由余弦定理，得，无解．

故．

故答案为：3.

10．（2021·全国高二课时练习）如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】

连接，设，将梯形的周长表示成关于的函数，求出当时，有最大值，即可得到答案；

【详解】

连接，设，，

作于点，则，，

所以，

梯形的周长．

当，即时，有最大值，

这时，，，

，．

故答案为：

1. （2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

2．（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，

由，解得，即．

故选：D.

3.（2019·全国高考真题（理））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【解析】

设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（    ）

A． B． C．  D．

【答案】A

【解析】

由．

，

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，

，故选A．

5. （2021·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．

【答案】

【分析】

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】

由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2.

【解析】

如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．