第六章 平行四边形（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

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班级 姓名 学号 分数 第六章 平行四边形（A卷·知识通关练）考点1 多边形的对角线【方法点拨】从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这些对角线能把n边形分成（n-2）个三角形。共条对角线.（2022秋•东港市期末）过一个多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成6个三角形，则这个多边形为　　A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形【分析】根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得的值．【解答】解：根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，，即．故选：．（2022秋•榆阳区校级期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是　　A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形【分析】根据从边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．【解答】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为，，解得．故选：．（2022秋•沙坪坝区校级期末）下列说法正确的有　　个．①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】分别根据角平分线的定义，两点之间的距离的定义，线段的性质，直线与射线的定义以及多边形的对角线的定义逐一判断即可．【解答】解：从角的顶点出发，把一个角分成两相等的角的射线叫角的平分线，故①说法错误；连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故②说法错误；两点之间，线段最短，故③说法错误；射线上点的个数和直线上点的个数都是无数个，故④说法错误；边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形，故⑤说法正确．所以法正确的有1个．故选：．（2022秋•保定期末）若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则　 　．【分析】利用边形从一个顶点出发可引出条对角线求解．【解答】解：根据题意得，所以．故答案为：13．（2022秋•小店区校级期末）从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数是 　 　．【分析】根据从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是进行计算即可．【解答】解：从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为：（条，故答案为：3．考点2 多边形的内角和与外角和【方法点拨】多边形的外角和固定不变为360°，多边形的内角和为180（n-2）(其中n为边数）.（2022秋•莱阳市期末）如图，六边形中，，，，，，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】延长交延长线于，由可求，再由三角形的外角定理求出，最后由多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：延长交延长线于，，，，，，，，，，．故选：．（2022秋•城关区校级期末）若边形的内角和比它的外角和的3倍少，则是　　A．5 B．7 C．8 D．9【分析】根据边形的内角和公式且为整数），外角和等于列出方程求解即可．【解答】解：依题意得：，解得．故选：．（2022秋•硚口区期末）如图，已知，那么的大小是　　A． B． C． D．【分析】根据多边形的外角和是即可得出答案．【解答】解：，，．故选：．（2022秋•荔湾区期末）如果一个多边形的每个内角都是，则它的边数为　　A．8 B．9 C．10 D．11【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数一个外角的度数计算即可．【解答】解：因为，，故这个多边形的边数是10．故选：．（2022秋•北京期末）一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是　　A． B． C． D．【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．【解答】解：多边形的边数是：，则多边形的内角和是：．故答案为：．考点3 平行四边形性质中的边角关系【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行。（2022秋•莱阳市期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的长度为　　A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先证明，，再根据即可得出答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，平分交于，平分交于，，，，，．故选：．（2022秋•南关区校级期末）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是　　A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．、、正确，错误，故选：．（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形中，，平分，则的度数是　　A． B． C． D．【分析】由平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义得出，从而可得出答案．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，，平分，，，故选：．（2022秋•招远市期末）已知，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是　　A． B． C． D．【分析】根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：、由作法可知平分，所以，故本选项不符合题意；、，，故本选项不符合题意；、无法证明，故本选项符合题意；、，，，，故本选项不符合题意．故选：．（2022秋•黄浦区校级期末）如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则　 　．【分析】由平分得到，又由平行四边形两组对边分别平行可以推出，然后可以得到，从而求出．【解答】解：平分，，又，，，，．故答案为：3．考点4 平行四边形性质中的对角线【方法点拨】掌握平行四边形的对角线性质是关键：平行四边形的对角线互相平分。（2022秋•招远市期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为　　A． B． C． D．【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，的周长为，的周长为，，，，故选：．（2022春•锦州期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为　　A． B． C． D．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即，则，而的周长，继而即可求出的长．【解答】解：的周长是，，的周长是，，．故选：．（2021秋•让胡路区校级期末）在中，，，，则的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得，，再根据三角形三边关系定理可得答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，故选：．（2022秋•东营区校级期末）如图，的对角线相交于点，且，的周长为23，则的两条对角线的和是　　A．18 B．28 C．36 D．46【分析】首先由平行四边形的性质可求出的长，由条件的周长为23，即可求出的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．【解答】解：四边形是平行四边形，，的周长为23，，，，平行四边形的两条对角线的和，故选：．（2022秋•任城区期末）已知，在平行四边形中，的平分线分成和两条线段，则平行四边形的周长为　　．A．11 B．22 C．20 D．20或22【分析】设的平分线交于点，可证明，再分两种情况讨论，一是，，则，；二是，时，则，，分别求出平行四边形的周长即可．【解答】解：设的平分线交于点，四边形是平行四边形，，，，，，当，时，如图1，则，，；当，时，如图2，则，，，平行四边形的周长为或，故选：．考点5 利用平行四边形性质求周长【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，△ABO的周长比△BOC的周长小1，则▱ABCD的周长是（　　）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的周长小1，则BC比AB大1，所以可以求出BC，进而求出周长．【答案】解：∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，∴BC﹣AB＝1，∵AB＝3，∴BC＝4，∴AB+BC＝7，∴平行四边形的周长为14，故选：C．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　）A．28 B．26 C．24 D．20【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF＝3，根据CF+CD+ED+EF＝AD+CD+EF即可求出答案．【答案】解：在平行四边形ABCD中，2（AD+CD）＝36，∴AD+CD＝18，易证△AOE≌△COF，∴AE＝CF，OE＝OF＝3，∴EF＝6∴CF+CD+ED+EF＝AE+ED+EF+CD＝AD+CD+EF＝18+6＝24故选：C．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为 　 　．【分析】由平行四边形的性质得，，，，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，，即可解决问题．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，的周长，故答案为：20．（2022秋•泰山区期末）如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点与、相交于点、，若，，，那么四边形的周长是 　 　．【分析】先证明，得出，，可求得，即可得出四边形的周长，进而可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，，，四边形的周长．故答案为：15．（2022秋•东营区校级期末）如图，的对角线相交于点，且，过点作，交于点．如果的周长为8，那么的周长是　 　．【分析】根据题意，垂直平分，所以，因此的周长，可得平行四边形的周长．【解答】解：是平行四边形，，，．的周长，平行四边形的周长是．故答案为16．考点6 利用平行四边形性质求面积【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。（2022秋•招远市期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是　　A． B． C． D．【分析】利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．【解答】解：、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确．故选：．（2022秋•张店区校级期末）如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则　 　．【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案．【解答】解：，，四边形、、、为平行四边形，，同理可得，，，即．，，；故答案为：4.5．（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，，则图中阴影部分的面积是 　　．【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．【解答】解：平行四边形中，对角线、相交于点，，阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，过点作于点，，，，，，阴影部分面积为，故答案为：．（2022秋•南关区校级期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，若，，，则平行四边形的面积为 　 　．【分析】先作交的延长线于点，然后根据平行四边形的性质和判定可以得到四边形是平行四边形，从而可以得到、的长，进而得到的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，最后根据平行四边形的面积底高计算即可．【解答】解：作交的延长线于点，如图所示，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，是直角三角形，，平行四边形的面积为：，故答案为：24．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形中，于点，于点，若，，，则平行四边形的面积为　 　．【分析】已知平行四边形的高、，设，则，根据“等面积法”列方程，求，从而求出平行四边形的面积．【解答】解：设，则，根据“等面积法”得，解得，平行四边形的面积．故答案为：48．考点7 平行四边形的判定【方法点拨】平行四边形的判定：⑴一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2022秋•泰山区期末）如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形　　A．， B．， C．， D．，【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意；、由，不能判断四边形是平行四边形，故选项符合题意；、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意；、，，，，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意；故选：．（2022秋•东平县校级期末）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有　　A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断．【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；故选：．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．【答案】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．故选：A．（2022秋•峰峰矿区校级期末）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形中，，　　求证：四边形是　 　四边形．（1）填空，补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为　 　．【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形；（2）连接，利用定理证明可得，，进而可得，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．【解答】解：（1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形．（2）证明：连接，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．考点8 平行四边形的判定与性质（2022秋•张店区校级期末）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④；⑤，．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．【解答】解：①如图，连接交于点，四边形是平行四边形，，，，，，，即，四边形是平行四边形；故①正确；②，不能判定，不能判定四边形是平行四边形；③，不能判定，不能判定四边形是平行四边形；④，，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形，故④正确；⑤，，，，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形；故⑤正确；一定能判定四边形是平行四边形的是①④⑤，共3个，故选：．（2022秋•东平县校级期末）如图：分别以的直角边及斜边为边作等边及等边，已知，，垂足为，连接交于点．给出下列说法：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由等边三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可判断①成立，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，即可判断②成立，由“”可证可判断③不成立，由平行线分线段成比例可判断④成立，由等边三角形的性质可判断⑤不成立．【解答】解：中，，，又是等边三角形，，，在和中，，，；故①正确是等边三角形，，，又，，，，，四边形是平行四边形．故②正确四边形是平行四边形，又，与不全等故③错误故④正确故⑤错误故选：．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形中，，对角线、交于点，且．（1）求证：①；②四边形为平行四边形；（2）过点作，交于点，交于点，连接，若，，求的度数．【分析】（1）①由平行线的性质得出，可证明；②证得，再由，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质得出，求出，则可得出答案．【解答】（1）①证明：，，在和中，，；②同理可证，，又，四边形为平行四边形；（2）解：，，，，，，，，．（2022秋•招远市期末）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出，；证明是的中位线，得出，，证出，，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，是的中位线，，，为的中点，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：，，，，，．（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的长．【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：，，，，，在和中，，，，，四边形为平行四边形；（2）解：四边形为平行四边形，，，，，，，在中，，，，，．．考点9 三角形的中位线（2022秋•泰山区校级期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为　　A． B． C． D．【分析】延长交于，证明，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．【解答】解：如图，延长交于，平分，，，，在和中，，，，，，，点为的中点，是的中位线，，故选：．（2022秋•二道区校级期末）如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为　　A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案．【解答】解：，，，，平分，，，是的中位线，．故选：．（2022秋•桐柏县期末）如图，在中，点、分别是、的中点，，点是上一点．．连接，．若，则的长度为　　A．18 B．16 C．14 D．12【分析】根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：，点是的中点，，，，，点、分别是、的中点，，故选：．（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形中，，，，点、分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的可能为　　A．2 B．2.3 C．4 D．7【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，与重合时，最小，从而求得的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接，，，，最大时，最大，最小时，最小，与重合时最大，此时，的最大值为6.5．，，，，长度的可能为4；故选：．（2022秋•新泰市期末）如图，四边形中，，，，分别是，，的中点．若，，则的度数为 　　．【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．【解答】解：，，，分别是，，的中点，是的中位线，是的中位线．且，且．又，，，．．，．故答案是：．考点10 平行四边形中的最值问题（2021春•方城县期中）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，对角线的最小值是　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，长度取最小值，则是的中位线，得出，即可得出答案．【解答】解：在中，，．四边形是平行四边形，，．当取最小值时，线段最短，此时．，是的中位线，，．故选：．（2022春•确山县期末）如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是　　A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接．，，，，，，，四边形是矩形，，由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时，，即，解得．故选：．（2020•宁波模拟）一个大矩形按如图方式分割成十二个小矩形，且只有标号为，，，的四个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道十二个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：，，，的四个小长方形为正方形，和的周长相等，和的周长相等．设的周长为：，则的边长为，和的周长相等；设的周长为：，则的边长为，和的周长相等；设的周长为：．故大矩形的边长分别为：，，故大矩形的面积为：，其中，，都为已知数，故的最小值是3．故选：．（2022春•睢宁县月考）如图，在中，，，为上的动点，连接，以、为边作平行四边形，则长的最小值为 　 　．【分析】取的中点，当时，的长最小，根据含的直角三角形的性质可求，即可得出的最小值．【解答】解：如图，取的中点，当时，的长最小，，，，，长的最小值为2．故答案为：2．（2021•扬州模拟）在中，，，点为上一动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为　 　．【分析】过作于点，利用勾股定理建立方程便可求得，当时，的值最小，即的值最小，可以证明此时取最小值时，．【解答】解：四边形是平行四边形，，，当时，的值最小，即的值最小，过作于点，则，平行四边形中，即，，四边形是矩形，，，，设，则，，即，解得，，，，的最小值为4.8．故答案为4.8．考点11 平行四边形中的动点问题（2022秋•丰城市校级期末）如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，　 　【分析】分两种情形列出方程即可解决问题；【解答】解：①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：或（2022秋•南关区校级期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．（1）　　，　　，（分别用含有的式子表示）；（2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值．（3）当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值．【分析】（1）由路程速度时间，可求解；（2）由面积关系可求解；（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．【解答】解：（1）点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，，，，故答案为：，；（2）设点到的距离为，四边形的面积是四边形面积的2倍，，；（3）若四边形是平行四边形，，，；若四边形是平行四边形，，，，若四边形是平行四边形，，，（不合题意舍去），若四边形是平行四边形，，，，综上所述：当或3或时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．（2022秋•招远市期末）如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），设运动时间为．（1）当点运动秒时，线段的长度为 　　；当点运动2秒时，线段的长度为 　　；当点运动5秒时，线段的长度为 　　；（2）若经过秒，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有的值．【分析】（1）由路程速度时间，可求解；（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．【解答】解：（1）点在上以的速度从点向点运动，，，当点运动2秒时，，，当点运动5秒时，，，故答案为：；7；5；（2）在上运动，，即，以点、、、为顶点的平行四边形，已有，还需满足，①当点的运动路线是时，，由题意得：，不合题意，②当点的运动路线是时，，由题意得：，解得：；③当点的运动路线是时，，由题意得：，解得：；④当点的运动路线是时，，由题意得：，解得：；综上所述，的值为6或10或12．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ＝PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．【答案】解：（1）∵AD∥BC∴∠QDM＝∠PCM∵M是CD的中点，∴DM＝CM，∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM＝∠PCM∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ＝PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，∵BC﹣CP＝AD+QD，∴9﹣CP＝5+CP，∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE＝1cm，若M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．（1）求经过几秒钟M、N两点停止运动？（2）求点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间；（3）设运动时间为t（s），用含字母t的代数式表示△EMN的面积S（cm2）．【分析】（1）由题意可得：M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm），则可得t＝30÷（2+3）＝6；（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，然后设经过t秒，四点可组成平行四边形，①当构▱成▱AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t，②当构成▱AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，继而求得答案；（3）分别从当 0＜t＜时，当≤t＜时，当＜t≤5时，当5＜t＜6时，去分析求解即可求得答案．【答案】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，∴M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm），∴t＝30÷（2+3）＝6 （s）答：经过6 s两点相遇．（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，设经过t秒，四点可组成平行四边形，①当构成▱AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t，解得t＝4；②当构成▱AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，解得t＝4.8；答：当点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间为4s或4.8s．（3）如图（1），当0＜t＜时，S＝S梯形CDNE﹣S△DMN﹣S△CEM＝×（2t+9）×5﹣×2t×3t﹣×9×（5﹣3t）＝﹣3t2+t；如图（2），当≤t＜时，S＝S△EMN＝EM•CD＝×（14﹣3t）×5＝35﹣t；如图（3），当＜t≤5时，S＝S△EMN＝×（3t﹣14）×5＝t﹣35；如图（4），当5＜t＜6时，S＝S△EMN＝MN•BE＝×（30﹣2t﹣3t）×1＝15﹣t．