冀教版九年级下册30.1 二次函数课后测评

这是一份冀教版九年级下册30.1 二次函数课后测评，文件包含第三十章二次函数培优卷2022-2023学年九年级下数学单元卷解析版冀教版docx、第三十章二次函数培优卷2022-2023学年九年级下数学单元卷原卷版冀教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
第三十章 二次函数（B卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·河北·威县第三中学九年级阶段练习）在下列4个不同的情境中，与所满足的函数关系属于二次函数的是（    ）A．正方形的周长与边长 B．速度一定时，路程与时间C．正方形的面积与边长 D．三角形的高一定时，面积与底边长【答案】C【分析】先求出各选项函数关系式，再判断即可．【详解】解：A、正方形的周长与边长的关系式是：，是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、速度一定时，路程与时间的关系式是：（速度v是常数），是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；C、正方形的面积与边长的关系式是：，是二次函数，故此选项符合题意；D、三角形的高一定时，面积与底边长的关系式是：（高h是常数），是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查列函数关系式与二次函数的定义，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．（2022·河北·衡水市第六中学九年级期中）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（   ）A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1【答案】B【分析】根据二次函数的对称轴和自变量的取值范围，确定最大值和最小值即可；【详解】解：，对称轴为：，∵，抛物线开口朝上，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，离对称轴最远，函数值最大：，对称轴包含在自变量的范围内，∴当时，函数值最小：，综上，函数有最大值11，有最小值2；故选B．【点睛】本题考查二次函数的最值．解题关键是熟练掌握二次函数的性质．3．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知，二次函数图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即，对称轴为，∴，∴且，抛物线与轴交于正半轴，∴，∴故①正确，②正确；③∵，∴，故③正确；④∵抛物线的对称轴为，∴当x=1时，函数的最大值，且为，∴（m为任意实数）∴（m为任意实数），故④正确；综上所述，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题根据．4．（2022·河北唐山·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象． 5．（2023·河北·九年级专题练习）甲、乙、丙三人共同探究代数式的情况，三人的说法如下：甲：只有当时，代数式的值为2；乙：当x取大于2的实数时，代数式的值随x的增大而减小；丙：无论x取何值时，代数式的值都不可能大于4．下列判断正确的是（    ）A．甲对，乙对 B．甲对，丙对 C．甲错，丙对 D．乙错，丙错【答案】C【分析】设，根据二次函数的性质分析即可．【详解】设当时，解得，故甲错；当时，二次函数中y随x的增大而减小，故乙对；二次函数，当时二次函数有最大值4，即无论x取何值时，代数式的值都不可能大于4．丙对；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是构建二次函数解决问题．6．（2022·河北廊坊·二模）如图，矩形中，，，抛物线的顶点为，下列说法正确的结论有（    ）①当在矩形内部或其边上时，的取值范围是；②抛物线顶点在直线上；③如果顶点在内（不包含边界），的取值范围是．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】①先确定顶点M的的表达式，再根据题意列出关于m的不等式组求解即可；②将①确定的顶点坐标代入直线进行判定即可；③先确定直线AC的解析式，然后再列出关于m的不等式组求解即可．【详解】解：①∵∴顶点M的坐标为（m，-m+1）∵当在矩形内部或其边上∴ 即∴，故①错误．②∵顶点M的坐标为（m，-m+1），∴当x=m时，有-m+1=-m+1∴抛物线顶点在直线上，即②满足题意．③∵，∴直线AC的抛物线为y=x+2∵顶点M在内（不包含边界）∴，即∴，③正确．故答案为C．【点睛】本题主要考查了抛物线与矩形的结合，根据图形列出关于m的不等式成为解答本题的关键．7．（2022·全国·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（    ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，所以①、③错误，②、④正确，选项B正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．8．（2022·河北·廊坊市第四中学九年级阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数．②．③当时，．④．其中正确结论是（    ）A．①② B．①④ C．③④ D．①③【答案】D【分析】直接由，可判断结论①；把A点坐标代入抛物线求出a值，可判断结论②；由x=0求得、的值并作差后即可判断结论③；由二次函数的对称性求出B、C的坐标，进一步验证2AB=3AC，即可判断结论④．【详解】解：∵，∴无论x取何值，的值总是正数，故结论①正确；∵抛物线过点A（1，3），则有，解得，故结论②错误；∵，，当x=0时，，，∴，故结论③错误；∵抛物线，其对称轴为直线，抛物线，其对称轴为直线，又∵两抛物线交于点A（1，3），∴结合抛物线对称性，可求得B（-5，3），C（5，3），则AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，故结论④正确．故选：D．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等，利用数形结合思想分析问题是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图像上点的坐标特征．9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形中，，E为上一点（不含点A），O为的中点，连接并延长，交于点F，点G为上一点，，连接，．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．甲：存在点E，使；乙：的面积存在最小值．下列说法正确的是（    ）A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确【答案】D【分析】先证明△EOD≌△FOB得到DE=BF，推出AE=CF，则CF=DG，假设存在点E使得EG⊥FG，可证△EDG≌△GCF得到DE=CF，从而推出AD=CD，再由，推出CD＞AD，与AD=CD矛盾，即可判断甲；可假设设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则BF=DE=3-x，CG=4-x，然后根据求出△EFG的面积关于x的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积的最小值，同理假设AB=CD=4时，只要满足BC＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积有最小值，即可判断乙．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∠ADC=∠C=90°，AB=CD，∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，∵O是BD的中点，∴OB=OD，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴DE=BF，∴AE=CF，又∵AE=DG，∴CF=DG，假设存在点E使得EG⊥FG，∴∠EGF=90°，∴∠EGD+∠CGF=90°，又∵∠EGD+∠DEG=90°，∴∠DEG=∠CGF，又∵∠EDG=∠GCF=90°，∴△EDG≌△GCF（AAS），∴DE=CG，∴AE+DE=DG+CG，即AD=CD，∵，∴CD＞AD，与AD=CD矛盾，∴假设不成立，即不存在点E使得EG与GF垂直，故甲说法错误；设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则BF=DE=3-x，CG=4-x，∴，即当时，△EFG的面积有最小值，同理假设AB=CD=4时，只要满足BC＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积有最小值，故乙说法正确；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，二次函数的几何应用等等，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．10．（2022·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图，抛物线L：y＝tx2+2tx+3（t为常数且t＞0）与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线，与L交于点B，点C是L的顶点．则下列说法；①当t＝1.5时，射线OC经过线段AB的一个端点；②当t＝1时，射线OC经过线段AB的一个四等分点；③当0.5＜t＜1时，射线OC会经过线段AB的中点；④当0＜t＜0.5时，射线OC会经过线段AB的一个四等分点．其中错误的是（　　）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】先求得点A的坐标，进而可求得点B的坐标，再根据对称性求得顶点C的横坐标，再利用待定系数法分别求得直线OC的函数关系式分别讨论4个说法是否正确即可．【详解】解：当x＝0时，y＝3，∴点A（0，3），当y＝3时，则tx2+2tx+3＝3，解得：x1＝－2，x2＝0，∴B（－2，3），∴对称轴为直线x＝（－2＋0）÷2＝－1，∴顶点C的横坐标为－1，①当t＝1.5时，y＝1.5x2+3x+3，将x＝－1代入y＝1.5x2+3x+3得y＝1.5，∴C（－1，1.5），设直线OC的函数关系式为y＝kx，将（－1，1.5）代入y＝kx得：k＝－1.5，∴直线OC的函数关系式为y＝－1.5x，当y＝3时，x＝－2，∴射线OC经过线段AB的一个端点B，故①的说法正确，不符合题意；②当t＝1时，y＝x2+2x+3，将x＝－1代入y＝x2+2x+3得y＝2，∴C（－1，2），设直线OC的函数关系式为y＝k1x，将（－1，2）代入y＝k1x得：k1＝－2，∴直线OC的函数关系式为y＝－2x，当y＝3时，x＝－1.5，∵点（－1.5，3）是线段AB的一个四等分点，∴射线OC经过线段AB的一个四等分点，故②的说法正确，不符合题意；③∵点A（0，3），B（－2，3），∴线段AB的中点为（－1，3），若射线OC会经过线段AB的中点（－1，3），则设直线OC的函数关系式为y＝k2x，将（－1，3）代入y＝k2x得：k1＝－3，∴直线OC的函数关系式为y＝－3x，当x＝－1时，y＝3，∴顶点C的坐标为（－1，3），此时顶点C与点A，B在同一直线上，故射线OC不会经过线段AB的中点，③的说法不正确，符合题意；④∵点A（0，3），B（－2，3），∴线段AB的四等分点的坐标分别为（－1.5，3），（－1，3），（－0.5，3），由②可知若射线OC经过（－1.5，3），则t＝1，由③可知射线OC不会经过（－1，3），若射线OC经过（－0.5，3），设直线OC的函数关系式为y＝k3x，将（－0.5，3）代入y＝k1x得：k1＝－6，∴直线OC的函数关系式为y＝－6x，当x＝－1时，y＝6，∴此时的顶点C的坐标为（－1，6），将（－1，6）代入y＝tx2+2tx+3，得：t－2t+3＝6，解得：t＝－3，∵t＞0，∴t＝－3不符合题意，舍去∴④的说法是不正确的，符合题意，综上所述，以上4个说法错误的是③④，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质以及待定系数法求函数关系式，熟练掌握二次函数的图象性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·河北·大名县第一中学九年级开学考试）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…-3-2-101…y…-4-3-4-7-12…则该图象的对称轴是___________【答案】【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．【详解】解：由表格可得，当x取-3和-1时，y值相等，该函数图象的对称轴为直线，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．12．（2022·河北·青县第二中学九年级阶段练习）把化为的形式，其中为常数，则______．【答案】【分析】将一般式根据配方法化为顶点式即可求解．【详解】解：，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．13．（2022·河北·景县第二中学九年级阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6（1）雕塑高OA的值是____m；（2）落水点C，D之间的距离是____m．【答案】     ##1     22【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；【详解】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．故答案为：．（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．故答案为：22．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；．14．（2023·河北·九年级专题练习）已知二次函数（a为常数）．（1）若，则二次函数的顶点坐标为___________；（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．【答案】          【分析】本题给出的是二次函数的顶点式，可以推出二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），第一小问直接把a=2代入顶点坐标即可，第二小问要进行等量变换，具体见详解．【详解】①由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；②设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．故答案为．【点睛】本题考查了根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标，第二问需要用等量变换，消掉a，得到y关于x的关系式．15．（2022·河北·新乐市实验学校模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式为___________；（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________.（销售额=销售量×销售价格）【答案】          【分析】根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；根据题意和中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，则，解得，即当时，与的函数关系式为；当时，设与的函数关系式为，则，解得，即当时，与的函数关系式为，由上可得，与的函数关系式为，故答案为：；（2）设当月第天的销售额为元，当时，，当时，取得最大值，此时，当时，，当时，取得最大值，此时，由上可得，当时，取得最大值，此时，故答案为：【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．16．（2022·河北·九年级专题练习）在中，，，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：（1）当______时，；（2）BD的最大值为______．【答案】     PC##CP     【分析】（1）先证△BDP∽△CPA，再根据AAS添加条件BD=PC，即可求解答案；（2）根据（1）的结论得到△BDP∽△CPA，即有，进而有，再结合已知的线段长度，可得到，再根据二次函数的性质即可得到BD的最大值．【详解】（1）BD=PC时，△BDP≌△CPA，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠C=∠MPN，∠MPB=∠C+∠PAC=∠DPB+∠MPN∴∠DPB=∠PAC，∴△BDP∽△CPA，即有当BD=PC时，有△BDP≌△CPA；（2），理由如下：根据（1）的结果有：△BDP∽△CPA，∴，∴，∵AB=AC=4，BC=6，∴BP=BC=PC=6-PC，∴，整理得：，∵,∴当PC=3时，BD有最大值，且最大值为，故答案为：PC，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定以及二次函数求最值等知识，利用△BDP∽△CPA得到二次函数是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·河北·威县第三中学九年级阶段练习）已知二次函数．(1)该二次函数图象的对称轴为直线_________，顶点坐标为_________；(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当时，的取值范围．【答案】(1)；(2)图见解析；的取值范围是 【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和图象对称轴即可；（2）根据二次函数与坐标轴的交点和（1）中的顶点坐标作出图象即可；根据图象即可得出的取值范围．（1）解：∵，∴顶点坐标为，∴该二次函数图象的对称轴为；故答案为：；（2）解：∵当时，，∴该二次函数图象与轴的交点为，∵当，则，解得：，，∴该二次函数图象与轴的交点为，，∴二次函数的图象如下图所示：当时，的取值范围为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的顶点式，解本题的关键在正确画出二次函数图象．18．（2022·河北·东光县第二中学九年级阶段练习）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱水果降价元.(1)当时，每箱利润___________元，平均每天可售出___________箱水果；(2)设每天销售该水果的总利润为元.①求与之间的函数解析式；②试判断能否达到8200元，如果能达到，求出此时的值；如果不能达到，求出的最大值.【答案】(1)50，160(2)①，②不能，8100元【分析】（1）利用每箱利润＝60﹣每箱降低的价格及平均每天的销售量＝120+20，即可求出结论；（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出（4x+120）箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润＝每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20160（箱）．故答案为：50；160．（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出120+20（4x+120）箱，依题意得： w与x之间的函数解析式为；②w不能达到8200元；.∵-4<0，∴当时，w取到最大值，，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出一函数关系式是解题的关键．19．（2022·河北·邯郸市第二十三中学九年级期中）2019年女排世界杯，中国女排以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，为祖国和人民赢得了荣誉。赛前中国女排的姑娘们刻苦训练，如图：已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式.（不要求写自变量x的取值范围）(2)在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明.(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【答案】(1)(2)可以拦网成功(3)【分析】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（7，3.2），设解析式为，再将点坐标代入即可求得；（2）由（1）中解析式求得时的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（3）设抛物线解析式为，将点坐标代入得到用表示的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即时，且时，得出关于的不等式组，解之即可得．【详解】（1）解：根据题意知此时抛物线的顶点的坐标为（7，3.2），设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得：，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为；（2）解：由题意当时，，∴这次她可以拦网成功．（3）解：设抛物线解析式为，将点代入，得：，即，∴此时抛物线解析式为，根据题意，得：，解得：，答：排球飞行的最大高度的取值范围是．【点睛】此题主要考查了二次函数及二次函数的实际应用，建立正确的函数模型并利用模型解决实际问题是关键．20．（2022·河北·石家庄市第二十八中学一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：x/周824T/千套1026 (1)求T与x的函数关系式；(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．【答案】(1)；(2)；(3)①存在，不变的值为240；②当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．【解析】（1）解：当0＜x≤8时，设，根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，∴，解得：m＝120，∴，当8＜x≤24时，设，根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，∴，解得：n＝1，∴，即：，∴T与x的函数关系式为；（2）解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入，得：，解得：，∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，故答案为：；（3）①存在，不变的值为240，由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为，将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入，得：，解得：，∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8，∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)·＝240；当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16；当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88，综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为240．②（Ⅰ）当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，当2(x＋3)2－2＝286时，解得：x1＝9，x2＝－15（舍去）；当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504；当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14；（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x＝21，当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504；当－(x－21)2＋529＝504时，解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18，综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图像的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．21．（2022·河北保定·一模）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求的长；(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；(3)若四边形的面积为，试写出与的函数关系式，并求出取何值时，四边形的面积最小？(4)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)(2)当秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似(3)；当时，有最小值为15(4)当的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形【分析】（1）利用三角函数和勾股定理解Rt△ABC即可；（2）分和两种情况讨论，根据对应边成比例列方程求解即可；（3）由四边形的面积=△ABC面积-△MCN面积，再根据二次函数的性质计算求值即可；（4）分别讨论①当时，②当时，③当时，结合图形根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列方程求解即可；(1)解：∵，，，∴，∴；(2)解：①当时，∴，，解得（符合题意）；   ②当时，，即，解得（符合题意），综上所述，当秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似；(3)解：∵M到达C点要6秒，N到达A点要4秒，∴0＜t≤4，，∴当秒时，有最小值为15；(4)解：∵M到达A点要秒，N到达C点要4秒，∴0＜t≤，①如图，当时，，解得（符合题意）；   ②如图，当时，过点作于，则，，，∵，∴，∴，∴，即，解得（符合题意）； ③如图，当时，过点作于，则，，∵，∴，∴，即，解得（符合题意）；综上所述，当的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识；综合性较强，根据三角形边的情况分类讨论是解题关键．22．（2022·河北保定·九年级期末）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？(3)在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】(1)y=(2)排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测需要45分钟；(3)从一开始就应该增加7个监测点．【分析】（1）分类讨论，当0≤x≤30时，根据顶点坐标设出顶点式，将（0，0）代入即可求解；当30＜x≤40时，y=1800；（2）根据“排队人数=累计人数-进校人数”即可求解；（3）根据题意列出不等式求解即可．（1）解：①当0≤x≤30时，∵顶点坐标为（30，1800），∴设y=a（x-30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800=0，解得a=-2，∴y=-2（x-30）2+1800=-2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y=1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y=；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得w=y-40x ①0≤x≤30时，w=-2x2+120x-40x=-2x2+80x=-2（x-20）2+800，∵-2＜0，∴当x=20时，w的最大值是800；     ②当30＜x≤40时，w=1800-40x，∵-40＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人； 要全部学生都完成体温检测，根据题意得：1800-40x=0，解得：x=45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得10×20（m+2）≥1800，       解得：m≥7即从一开始就应该增加7个监测点．【点睛】本题考查二次函数的应用、不等式的应用，涉及分类讨论思想，解题的关键在于理清题目中的等量（不等）关系，列出相应关系式．23．（2022·河北·东光县第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，点，点P在该抛物线上，其横坐标为m，(1)求抛物线的解析式；(2)当点P到抛物线对称轴的距离小于1时，直接写出点P的纵坐标的取值范围；(3)当时，把抛物线沿轴向上平移得到抛物线，平移的距离为，在平移过程中，抛物线与直线BP始终有交点，求h的最大值；(4)若抛物线在点P左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求m的值．【答案】(1)(2)(3)(4)3或【分析】（1）将点，点代入得二元一次方程组，求解该二元一次方程组即可得解；（2）先求得抛物线的对称轴为x=2，顶点为(2，−1)，根据点即可求得点的纵坐标的取值范围；（3）先求出点P的坐标为（3，0），再利用待定系数法求得直线BP的解析式，将直线BP与平移后的二次函数联立得一元二次方程，利用根的判别式即可求解；（4）分类讨论求解m的值，当时，抛物线顶点为最低点，当时，点为最低点，将代入中得，从而构造方程求解即可．（1）解：将（1，0），（0，3）代入得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为(2，−1)，∵，∴当点P到抛物线对称轴的距离小于1时，点的纵坐标的取值范围是；（3）解：∵，点在上，∴，∴点P的坐标为（3，0）．设直线BP的函数解析式为．将（0，3）（3，0）代入得，，解得，，∴．设抛物线的解析式为，令，整理得．∵抛物线与直线始终有交点，∴，∴，∴的最大值为；（4）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．当时，抛物线顶点为最低点，∴，解得；当时，点为最低点，将代入中得，∴，解得（舍），．综上所述，的值为3或．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求解一次函数，二次函数与一次函数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．