2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则的模为（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：A
2．如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】解不等式，得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间的包含关系的对应关系，可得不等式组，则有，（注：等号不同时成立），解可得答案
【详解】由不等式，
得：，
由于不等式成立的充分不必要条件是，
则有，（注：等号不同时成立）；
解得.
故选：B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，属于较易题.
3．函数的单调增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用f(x)的导数的正负即可求其单调性．
【详解】∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
4．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1B．2C．0D．
【答案】C
【解析】求导得到，取带入计算得到答案.
【详解】，则，
则，故.
故选：C.
【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．在中，已知，且，则的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【详解】由及正弦定理得，故在为直角三角形；又且，所以，因此
，由于为三角形的内角，故有，所以为等腰三角形．综上可得为等腰直角三角形．选C．
6．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.
【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则且，
又且，得且，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为2，，，，，
故的面积为.
故选：D.
7．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（ ）．
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】根据对称关系可知为的中位线，再利用椭圆定义可得，从而可得的周长.
【详解】因为关于的对称点为，关于的对称点为，
所以为△的中位线，
所以，
，
所以的周长为.
故选：D.
8．在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得再求导分析的单调性与取最大值时的值即可
【详解】由题意，，故，故当时，，当时，，故当时取最大值.
故选：D
9．过抛物线的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段中点的纵坐标为2，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程得，利用韦达定理求出值，再利用弦长公式即可.
【详解】由抛物线方程知焦点坐标为，
设直线的方程为，联立得，
设，，则，，
则，解得，
则，
故选：C.
10．已知过点（0，1）的直线与椭圆交于、两点，三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先设直线方程再联立应用弦长公式求弦长,把面积转化为关于的函数,求最值即可.
【详解】显然直线斜率存在，设过的直线方程为：，联立方程组
消去，并整理得，
设，，则恒成立,
，，
，O到直线的距离为，
，
令，则，当时等号成立.
故选:.
11．已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴截得的弦长的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆心的坐标为，由圆M被轴截得的弦长为，求得，
进而得到被x轴截得弦长为，即可求解．
【详解】由题意，点是抛物线上的动点，设圆心的坐标为，
则圆心到x轴的距离为，到y轴的距离为，
又因为以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，
由弦长公式，可得，
所以被x轴截得弦长为，
当时，此时弦长取得最小值，故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，以及圆的弦长公式的应用，其中解答中熟练应用圆的性质和圆的弦长公式，借助配方法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
12．已知双曲线，、分别是上下顶点，过下焦点斜率为的直线上有一点满足为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】依题意首先得到直线的方程，过点作轴，垂足为，即可表示点的坐标，再由点在直线上，即可得到、的关系，即可求出离心率.
【详解】解：依题意可得，，，直线的方程为，
过点作轴，垂足为，因为，所以，，
所以，则，，所以，
又点在直线上，所以，所以.
故选：D
二、填空题
13．设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点位于第____________象限.
【答案】一
【分析】化简复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数，
可复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一
14．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线的右支上，且，则__________.
【答案】
【分析】根据双曲线得定义可得：，结合，求得的值，利用余弦定理，求得的值
【详解】由双曲线，及，所以：a=2，.根据双曲线的定义： 因为，则，在三角形PF1F2中，，
故答案为：.
【点睛】双曲线与焦点三角形问题，结合余弦定理，求角的余弦值.
15．已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可.
【详解】函数在上不单调,
即在有零点，
即
当，，故
故答案为：
【点睛】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为______.
【答案】
【分析】先由题中条件，作出示意图，在中，用余弦定理求得，用勾股定理证得为直角三角形，再由平面平面，为等边三角形，证得平面，得到三棱锥的外接球的球心必在直线上，再由，求得外接球半径，得到外接球体积.
【详解】解析：作出图形如图所示，
在中，由余弦定理，，
解得，或（，舍），
又由，，则，故为直角三角形，
设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面，
故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点，
则球心必在直线上，易知，
故在之间，设，则，
即，解得，故所求球半径，球的体积为.
故答案为： .
【点睛】本题考查了面面垂直的性质，三棱锥的外接球半径的求法，属于中档题.
三、解答题
17．已知抛物线的焦点为，O为坐标原点．
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得，即可求出；
（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用面积公式即可
【详解】（1），则由抛物线性质得，
∴，∴，
即抛物线的标准方程是.
（2）由题意得，抛物线的焦点为，
∴斜率为1的直线的方程为，，，
，
所以，，
∴.
原点到直线的距离为，
所以的面积
18．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由题设条件和正弦定理，化简得，求得，即可求解；
（2）条件①：由，和，根据余弦定理求得，结合面积公式，即可求解；
条件②：由且，根据正弦定理求得，进而求得的值，结合面积公式，即可求解．
【详解】（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
19．在数列中，，若函数在点处切线过点（）
（1） 求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式和前n项和公式.
【答案】（1）见解析；（2），.
【分析】（1）利用导数求出切线方程得到，经过变形即可得到
（2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和得到
【详解】（1）因为，所以切线的斜率为，切点（1，2），
切线方程为
又因为过点（），所以，
即①
所以，
即数列为一等比数列，公比
（2）由（1）得为一公比为的等比数列，则
∴，

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及由定义判定等比数列，属于中档题．
20．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）转化为证明平面；
（2）设与的交点为，连结，可得，再由线面平行的判定定理即可证得结果.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，
又因为，，，则，所以，
又，所以平面，所以.
（2）设与的交点为，连结，
∵是的中点，是的中点，∴
∵平面，平面， ∴平面.
21．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点）．
(1)求椭圆的标准方程并求弦的长；
(2)证明直线过定点．
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆标准方程，再与直线m的方程联立，求出弦AB长作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线OP斜率、点E的坐标，进而求出直线l方程作答.
【详解】（1）因为为椭圆的一个顶点，则，由离心率为得，
，则有，椭圆方程为，其右焦点为，
直线，，由消去y得：，
设，则，
，
所以椭圆的标准方程为，弦的长为.
（2）由（1）知弦的中点，直线斜率，而，
则直线的斜率为，在中，令得点，
因此直线的方程为，显然直线：过定点，
所以直线过定点.
22．已知函数
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)在区间内至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是和；（2）.
【详解】试题分析：（1）先确定函数，然后对函数进行求导，利用导数的正负建立不等式，求得函数的单调性与单调区间；（2）先对函数进行求导，然后通过分类讨论，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用最小值小于0，建立不等式，求解不等式，得到实数的取值范围.
试题解析：(1)当时,,由,得或,
所以函数在与上为增函数,
即函数的单调递增区间是和.
(2),
当,即时,在[1,2]恒成立,
在[1,2]上为增函数,故,
所以,这与矛盾.
当,即时,若,则;
若,则所以当时,取得最小值,
因此,即,可得,
这与矛盾.
当,即时,在[1,2]恒成立,在[1,2]上为减函数,
所以,
所以,解得,满足.
综上所述,实数的取值范围为