2021-2022学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集R，集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的补集的定义进行求解即可．

【详解】集合，则，

故选：D

2．若α为第四象限角，则（       ）

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

【答案】D

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．在等差数列中，，（       ）

A． B．9 C．10 D．12

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质求解即可．

【详解】在等差数列中，，

故选：C

4．若函数唯一的一个零点同时在区间，，内，那么下列命题中正确的是（       ）

A．函数在区间内有零点

B．函数在区间或内有零点

C．函数在区间上无零点

D．函数在区间内无零点

【答案】C

【分析】题目中所给的零点所在区间的交集为，但零点与的大小未知，结合选项可得答案．

【详解】由题意，函数唯一的一个零点在内，则函数在上无零点，但零点与的大小未知，排除A，B ，D选项，故选：C

5．设，，，则（       ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为，，即，

又，所以.

故选：A

6．如果直线平面，，那么过点P且平行于直线a的直线（       ）

A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内

C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，一定在平面内

【答案】C

【分析】直接利用平面的公理2以及直线与平面平行的性质定理，判断出正确结果．

【详解】过与作一平面，由于

故可设平面与平面的交线为，且 ，

由平面的公理2可知两平面的交线b是唯一的，

因为直线平面，所以，

即过点P和已知直线a平行的直线有且只有一条，且在平面内

故选：．

7．二次不等式的解集是，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得2,3为方程的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.

【详解】因为二次不等式，所以，

因为不等式的解集是，

所以2,3为方程的两个根，

所以，即

所以.

故选：B

8．函数在区间的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

9．若，且，则下列不等式中成立的是（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式可得得范围，判断选项A；利用和与平方和的关系判断选项B；利用对数运算化简结合选项A判断出选项C；利用基本不等式可得选项D正确．

【详解】，，解得，当且仅当时取等号，故选项A错误；

，，当且仅当时取等号，故选项B错误；

由A可得，，当且仅当时取等号，故选项C错误；

，当且仅当时取等号，故选项D正确；

故选：D

10．设、为单位向量，且、夹角为，若，，则向量在方向上的投影为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件求出和，再利用求出投影即可.

【详解】，，

，，

则向量在方向上的投影为.

故选：C.

【点睛】本题考查向量投影的计算，属于基础题.

11．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合三角函数的两角和（差）公式，即可求解．

【详解】解：因为，

所以，

即，

所以，

故．

故选：A．

12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，画出正四棱锥的图像，根据题意条件，找到正四棱锥的高，侧面三角形的斜高，底面边长a之间的等量关系，然后带入中，借助勾股定理列出等量关系，即可求解出的值.

【详解】

由已知，可画出正四棱锥的图像，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为，，为中点，为侧面的高，设，由已知可得：

，，即，

则，即，解得

或（舍去）.

故选：B.

二、填空题

13．记为正项等比数列的前n项和．若，，则公比q＝______．

【答案】1.5

【分析】根据题意，可得，根据等比数列通项公式及题干条件，即可得答案.

【详解】由题意得，解得，

因为为正项等比数列，

所以，解得或（舍），

故答案为：

14．已知向量，，且，则x＝______．

【答案】-6

【分析】先求得坐标，根据向量平行的坐标公式，代入计算，即可得答案.

【详解】由题意得，，

因为，

所以，解得.

故答案为：-6

15．在中，，，分别是角，，的对边，若，，，则的面积为___________.

【答案】

【分析】结合正弦定理求得，由此求得，进而求得三角形的面积.

【详解】依题意，由正弦定理得，

所以，所以，

所以三角形的面积为.

故答案为：

16．在等腰直角中，AB＝AC＝3，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为______．

【答案】

【分析】据题意可得几何体的轴截面为边长为3的正方形，即正方形中的圆与该正方形内切时，球的体积最大，可得答案.

【详解】据题意可得几何体的轴截面为边长为3的正方形，

即正方形中的圆与该正方形内切时，球的体积最大，

可得内切圆的半径，

故．

故答案为：.

三、解答题

17．在如图所示的一块木料中，棱BC平行于面．

(1)要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？并说明理由．

【答案】(1)图形见解析

(2)平面，证明见解析

【分析】（1）注意到棱平行于面，故过点作的平行线，交、于点，，连结，；

（2）易知，与平面的相交，可证平面．

【详解】(1)解：过点作的平行线，

交、于点，，

连接，；

作图如下：

(2)解：平面．理由如下：

易知，与平面的相交，

平面，

又平面平面，

，

，

又平面，平面，

平面．

18．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，

(1)求角A；

(2)若，求a的最小值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；

（2）由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得；

【详解】(1)解：在，由，

所以，即，

再由正弦定理得，

，因为，

∴，

因为，所以，

∴.

(2)解：由，即，所以.

由

当且仅当时，所以的最小值为2.

19．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）证明出平面，即可证得；（2）根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．

【详解】(1)∵，，∴，

∵平面，平面，∴，∵，∴，

∵，平面，

∴ 平面，又平面，

∴．

(2)∵平面，平面ABC，∴，

又∵，，∴平面．

，

20．已知数列的前n项和为，，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可得到其通项公式；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：因为①，

所以②，

②①得即，

所以，

又当时，，又，所以，所以，

所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

(2)解：由（1）可得，

所以，

则

两式相减得，

所以，

21．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式：

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数图像求出、，再根据周期求出，最后根据函数过点，求出，即可得到函数解析式；

（2）根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，由正弦函数的性质取出函数的值域，即可求出参数的取值范围.

【详解】(1)解：由图可得：，，又，，，

，又因为过点，

，，

，，解得，，

又，，

.

(2)解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，

再将上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，

最后将图象上的每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变）得到，

即，

因为，所以，所以，

则，

因为方程在上有实数根，即与在上有交点，

所以.

22．已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：

①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．

(1)请写出表达式，并求a的值；

(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据所选条件，结合奇函数和偶函数的定义可得出的等式或表达式，可求得对应的实数的值；

（2）由已知条件可得出，由参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围；

【详解】(1)若选①：，

则，定义域为，

若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，

若函数为偶函数，则，

由，可得，

化简可得，

则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；

若选②，，

 则.

若函数为奇函数，则，不合乎题意；

若函数为偶函数，则，

由，可得，

整理可得，

则不为常数，不合乎题意.

选③，，

则，，

当为奇函数，则，

即，可得；

当为偶函数，则，

则，可得；

(2)由（1）知，当为奇函数时，，，

因为，

所以，

由于函数在上为增函数，函数在为减函数，

所以，函数在上为增函数，

则，

若对于任意的，都有成立，

所以，

设，，

任取、，且，即，

则，

，则，，

可得，即，

所以，函数在上为增函数，

所以，，即.

所以的取值范围是；