2022-2023学年内蒙古包头市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，”的否定是（）

A．，  B．，

C．，  D．，

2．抛物线的焦点坐标为（）

A． B． C． D．

3．已知a，，则“”是方程“表示圆”的（）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

4．在空间直角坐标系中，点A、B坐标分别为，．则A、B两点的距离为（）

A． B． C．10 D．50

5．下列双曲线中，离心率为的是（）

A． B． C． D．

6．P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（）

A． B． C． D．

7．已知圆O：与圆交于A、B两点，则（）

A． B． C．2 D．4

8．若实数m满足，则曲线与曲线的（）

A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虛轴长相等

9．M是椭圆：上一点，，是椭圆的两个焦点，若，且，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

10．已知命题p：椭圆的离心率为e，若．则；命题q：双曲线的两条渐近线的夹角为，若，则．下列命题正确的是（）

A． B． C． D．

11．M、N是双曲线上关于原点O对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（）

A． B．3 C．4 D．6

12．在平面直角坐标系中，，．以下各曲线：①；②；③；④中，存在两个不同的点M、N，使得且的曲线是（）

A．①② B．③④ C．②④ D．①③

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点的椭圆方程为______．

14．抛物线上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为______．

15．在平面直角坐标系中，过作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______．

16．设、为椭圆：的两个焦点，P为上一点且在第二象限．若，则点P的坐标为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）已知圆C过，，且圆心C在直线l：上．经过点的直线m交圆C于P、Q两点．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若，求直线m的方程．

18．（12分）抛物线的准线被圆截得的弦长为．

（1）求p的值；

（2）过点的直线交抛物线于点A、B，证明：．

19．（12分）已知椭圆的对称中心为原点O，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的倍．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的一个焦点为，过F且斜率为1的直线l交椭圆于两点A、B．求椭圆的标准方程并求的面积．

20．（12分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．

（1）求M的轨迹方程；

（2）记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？

21．（12分）已知椭圆：左右焦点分别为、，离心率为，斜率为k的直线l交椭圆于两点A、B，当直线l过时，的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）设OA、OB斜率分别为、，若，求证：，并求当面积为时，直线l的方程．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为．

（1）当时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；

（2）直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知x、y、z均为正实数，且．

（1）求的最大值；

（2）若，证明：．

2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷

文科数学参考答案

一、选择题

1．A  2．C  3．A  4．B  5．C  6．C  7．A  8．B  9．D  10．C  11．D  12．D

二、填空题

13． 14．10 15． 16．

三、解答题

17．解：（1）直线AB的垂直平分线方程为

与联立得，，，即

圆C半径

所以，圆C的标准方程为．

（2）∵，∴圆心C到直线m的距离

当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为

由得

当直线m的斜率不存在时，直线m方程为，C到m距离为2

综上可得，直线m方程为或．

18．解：（1）圆的圆心，半径为2；

所以C到准线距离为1，所以准线方程为

所以．

（2）由（1）得，抛物线标准方程为．

设直线AB方程为，，

与联立得

，由韦达定理，

，即以线段AB为直径的圆过点M．

19．解：（1）设椭圆标准方程为

则有，因为

所以椭圆离心率．

（2）椭圆标准方程为，直线l的方程为

设，，直线l方程代入椭圆方程得．

解得

所以的面积．

20．解：（1）设，则，

由得

整理得

所以，点M得轨迹方程为．

（可以不化为标准方程的形式，限制条件也可以为）

（2）设，，可得

两式相减得

由题意，，，所以

直线AB方程为

代入得，．

∵，∴不存在这样的直线l．

21．解：（1）由题意，，，解得，

椭圆的方程为．

（2）设直线l的方程为，，，

与椭圆方程联立得，

，

可得

所以

O到直线AB得距离，三角形OAB的面积

解得，或

所以直线l方程为，或．

22．解：（1），得

所以曲线C与x轴交点得坐标为．

（2）

得即为直线l的方程

曲线C的普通方程为

方程与联立得

得．

23．解：（1）由柯西不等式

所以，当且仅当时等号成立．

（2）证明：因为，，，，

由（1）得

即，所以

因为

当且仅当，即时，等号成立．

因为，所以，即．