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2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．2或﹣8
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
3．（3分）如图长方体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．邻补角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等
D．垂直于同一条直线的两直线平行
6．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．极差为3 C．平均数为96 D．中位数为97
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．3 B．﹣9 C．2 D．﹣2
10．（3分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2+7a＝ ．
14．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于 度．
15．（3分）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，则∠EFC＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 ．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）（a+3）2﹣（a+3）（a﹣3）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
19．（10分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神．某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）求选择A研学点的学生人数m；
（2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（15分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE．
（1）求证：BE＝CA；
（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
（3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积．
22．（15分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．2或﹣8
【分析】先求出x，y的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵x的相反数是3，
∴x＝﹣3．
∵|y|＝5，
∴y＝±5．
∴当x＝﹣3，y＝+5时，x+y＝﹣3+5＝2；
当x＝﹣3，y＝﹣5时，x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的值是2或﹣8．
故选：D．
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：B．
3．（3分）如图长方体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
【解答】解：从左边看，是一个长为5，宽为3的矩形．
故选：B．
4．（3分）若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断x﹣3≥0，由此即可求出x的范围．
【解答】解：由，
可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：B．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．邻补角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等
D．垂直于同一条直线的两直线平行
【分析】对于选项B、C、D利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角的概念进行判断．
【解答】解：A、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．极差为3 C．平均数为96 D．中位数为97
【分析】根据中位数、众数和极差的概念分别进行求解，即可得出答案．
【解答】解：∵97都出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是97，
按照从小到大的顺序排列：95，96，97，97，98，97，
∴中位数是＝97，
这组数据的平均数是：×（95+97+97+96+98+99）＝，
极差是：99﹣95＝4．
故选：D．
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
【分析】将分式方程去分母即可．
【解答】解：﹣2＝，
去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，
故选：A．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，再由垂直的定义可得∠AFC＝90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，即可得∠BAC＝75°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠BAC＝∠CAF+∠BAD＝25°+50°＝75°，
故选：C．
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．3 B．﹣9 C．2 D．﹣2
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x＝3代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为y＝，
将（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：D．
10．（3分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
12．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．
【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG＝S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2+7a＝ a（a+7） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2+7a＝a（a+7）．
故答案为：a（a+7）．
14．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于 72 度．
【分析】先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．
【解答】解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，
所以∠α＝360°﹣108°﹣90°﹣90°＝72°．
15．（3分）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，则∠EFC＝ 128° ．
【分析】根据翻折不变性可知∠DFE＝∠D′FE，又因为∠D′FC＝76°，根据平角的定义，可求出∠EFC的度数．
【解答】解：根据翻折不变性得出，∠DFE＝∠EFD′
∵∠D′FC＝76°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，
∴2∠EFD′＝180°﹣76°＝104°
∴∠EFD′＝52°，
∴∠EFC＝∠EFD′+∠D′FC＝76°+52°＝128°．
故答案为：128°．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 （0，0） ．
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：如图，由题意，M1（2，2），M2（4，﹣2），M3（0，0），
发现3次应该循环，
∵2022÷3＝674，
∴M2022的坐标与M3的坐标相同，即M2022（0，0）．
故答案为：（0，0）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）（a+3）2﹣（a+3）（a﹣3）．
【分析】（1）先根据算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣1+1
＝6；
（2）原式＝（a2+6a+9）﹣（a2﹣9）
＝a2+6a+9﹣a2+9
＝6a+18．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0＜n＜5且n，y均为正整数，即可得出各招聘方案；
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
由题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴ 或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
19．（10分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神．某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）求选择A研学点的学生人数m；
（2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出A研学点的学生人数m；
（2）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出C研学点的学生人数，从而画出图形即可；
（3）根据条形统计图和扇形统计图的信息求出D研学点的学生人数的百分数，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵选择B研学点的学生人数66，所占百分数为：55%，
∴66÷55%＝120（人），
∴选择A研学点的学生人数为：120×15%＝18（人），
∴m＝18；
（2）∵选择A研学点的学生人数为：18人，参加调查的总人数为：120人，
∴选择C研学点的学生人数为：120﹣18﹣66﹣6＝30（人），
∴如图所示
（3）∵参加调查的总人数为：120人，选择C研学点的学生人数为6人，
∴扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
【分析】（1）首先证明四边形AOCB是矩形，然后根据点B的坐标得到AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，连接AD，根据垂直平分线的性质得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中根据勾股定理求出点D的坐标，然后代入求解即可；
（2）设AC于DE交于点M，首先根据题意证明△CDM≌△AEM（AAS），进而得到，然后进一步求出，，最后根据S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF代入求解即可；
（3）连接DF，首先根据题意证明△BFD∽△BAC，然后根据相似三角形的性质得到∠BFD＝∠BAC，最后根据平行线的判定定理即可证明DF∥AC．
【解答】解：（1）∵BA⊥x轴，BC⊥y轴∠COA＝90°，
∴四边形AOCB是矩形，
∵点B的坐标为（﹣4，2），
∴AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，
如图所示，连接AD，
∵点D恰好在线段AC的中垂线上，
∴AD＝CD，
∴设AD＝CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝4﹣x，
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣5；
（2）如图所示，设AC于DE交于点M，
∵线段AC的中垂线交线段AO于E，
∴AM＝CM，
∵BC∥AO，
∴∠DCM＝∠MAE，∠CDM＝∠MEA，
∴△CDM≌△AEM（AAS），
∴，
∵点F在AB上
∴点F的横坐标为﹣4
∴将xF＝﹣4代入，
解得，
∴，
∴，，
∴S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF
＝
＝
＝
＝
＝．
（3）如图所示，连接DF，
设F（a，），D（，b）
，＝＝，
，＝＝，
∴＝
又∵∠B＝∠B，
∴△BFD∽△BAC，
∴∠BFD＝∠BAC，
∴DF∥AC．
21．（15分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE．
（1）求证：BE＝CA；
（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
（3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积．
【分析】（1）运用SAS证明△DBE≌△DAC即可；
（2）过点D作DP⊥DF交BE于点P，根据△DBE≌△DAC证明∠BFC＝90°，再证明△BDP≌△CDF，得证∠DFB＝45°，计算即可；
（3）在CD上截取DE＝DA，连接BE，延长BE交AC于点F，根据（1）（2）得证△DBE≌△DAC，∠BFC＝90°，结合CM⊥CA，CM＝CA得证△BEN≌△MCN，计算，根据面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，CD＝BD，DE＝DA，
∴∠ADC＝∠EDB，
在△DBE和△DCA中，
，
∴△DBE≌△DCA（SAS），
∴BE＝AC．
（2）如图，过点D作DP⊥DF交BE于点P，
根据（1）得△DBE≌△DCA，∠DBE＝∠DCA，
∵∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠FEC+∠ECF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵DP⊥DF，CD⊥AB，
∴∠BDP＝∠CDF，
在△BDP和△CDF中，
，
∴△BDP≌△CDF（ASA），
∴DF＝DP，
∴∠DFB＝45°，
∴∠CFD＝∠BFC+∠DFB＝45°+90°＝135°．
（3）如图，在CD上截取DE＝DA，连接BE，延长BE交AC于点F，
根据（1）（2）得证△DBE≌△DAC，∠BFC＝90°，BE＝AC；
∵CM⊥CA，CM＝CA，
∴CM∥BF，BE＝MC，
∴∠BEN＝∠MCN，
在△BEN和△MCN中，
，
∴△BEN≌△MCN（AAS），
∴，
∴△NBC的面积为：．
22．（15分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知点A，B的坐标，再将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
（2）连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，由此可表达点Q的坐标，表达PQ的长，利用三角形的面积公式可得四边形AOCP的面积，最后利用二次函数的性质可得结论；
（3）若点P到AB和AC两边的距离相等，则点P在∠BAC的平分线上，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，设OD＝m，分别表达OE，CE和CD的长，利用勾股定理建等式得出m的长，求出直线AP的解析式，联立可得出点P得坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝，
∴A（﹣6，0）B（，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+6）（x﹣）＝ax2+ax﹣8a，
∴﹣8a＝﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣8；
（2）令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8）；
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣8；
连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，t2+t﹣8），Q（t，﹣t﹣8），
∴QP＝﹣t﹣8﹣（t2+t﹣8）＝﹣t2﹣6t，
∴S△APC＝（xC﹣xA）•QP＝×6×（﹣t2﹣6t）＝﹣3t2﹣18t；
∵OA＝6，OC＝8，
∴S△OAC＝•OA•OC＝×6×8＝24；
∴S四边形AOCP＝S△APC+S△OAC
＝﹣3t2﹣18t+24
＝﹣3（t+3）2+51，
∴当t＝﹣3时，四边形AOCP的最大值为51；
（3）存在，理由如下：
若点P到AB和AC两边的距离相等，则AP是∠BAC的平分线，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AP平分∠BAC，AB⊥OC，DE⊥AC，
∴OD＝DE，OA＝AE＝6，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10，
设OD＝m，
∴CD＝8﹣m，CE＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得，42+m2＝（8﹣m）2，
解得m＝3，
∴D（0，﹣3），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令﹣﹣3＝x2+x﹣8，
解得x＝﹣3（舍）或x＝，
∴P（，﹣）．
2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．2或﹣8
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
3．（3分）如图长方体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．邻补角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等
D．垂直于同一条直线的两直线平行
6．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．极差为3 C．平均数为96 D．中位数为97
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．3 B．﹣9 C．2 D．﹣2
10．（3分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2+7a＝ ．
14．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于 度．
15．（3分）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，则∠EFC＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 ．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）（a+3）2﹣（a+3）（a﹣3）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
19．（10分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神．某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）求选择A研学点的学生人数m；
（2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（15分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE．
（1）求证：BE＝CA；
（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
（3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积．
22．（15分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．2或﹣8
【分析】先求出x，y的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵x的相反数是3，
∴x＝﹣3．
∵|y|＝5，
∴y＝±5．
∴当x＝﹣3，y＝+5时，x+y＝﹣3+5＝2；
当x＝﹣3，y＝﹣5时，x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的值是2或﹣8．
故选：D．
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：B．
3．（3分）如图长方体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
【解答】解：从左边看，是一个长为5，宽为3的矩形．
故选：B．
4．（3分）若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断x﹣3≥0，由此即可求出x的范围．
【解答】解：由，
可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：B．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．邻补角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等
D．垂直于同一条直线的两直线平行
【分析】对于选项B、C、D利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角的概念进行判断．
【解答】解：A、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．极差为3 C．平均数为96 D．中位数为97
【分析】根据中位数、众数和极差的概念分别进行求解，即可得出答案．
【解答】解：∵97都出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是97，
按照从小到大的顺序排列：95，96，97，97，98，97，
∴中位数是＝97，
这组数据的平均数是：×（95+97+97+96+98+99）＝，
极差是：99﹣95＝4．
故选：D．
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
【分析】将分式方程去分母即可．
【解答】解：﹣2＝，
去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，
故选：A．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，再由垂直的定义可得∠AFC＝90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，即可得∠BAC＝75°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠BAC＝∠CAF+∠BAD＝25°+50°＝75°，
故选：C．
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．3 B．﹣9 C．2 D．﹣2
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x＝3代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为y＝，
将（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：D．
10．（3分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
12．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．
【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG＝S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2+7a＝ a（a+7） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2+7a＝a（a+7）．
故答案为：a（a+7）．
14．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于 72 度．
【分析】先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．
【解答】解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，
所以∠α＝360°﹣108°﹣90°﹣90°＝72°．
15．（3分）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，则∠EFC＝ 128° ．
【分析】根据翻折不变性可知∠DFE＝∠D′FE，又因为∠D′FC＝76°，根据平角的定义，可求出∠EFC的度数．
【解答】解：根据翻折不变性得出，∠DFE＝∠EFD′
∵∠D′FC＝76°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，
∴2∠EFD′＝180°﹣76°＝104°
∴∠EFD′＝52°，
∴∠EFC＝∠EFD′+∠D′FC＝76°+52°＝128°．
故答案为：128°．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 （0，0） ．
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：如图，由题意，M1（2，2），M2（4，﹣2），M3（0，0），
发现3次应该循环，
∵2022÷3＝674，
∴M2022的坐标与M3的坐标相同，即M2022（0，0）．
故答案为：（0，0）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）（a+3）2﹣（a+3）（a﹣3）．
【分析】（1）先根据算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣1+1
＝6；
（2）原式＝（a2+6a+9）﹣（a2﹣9）
＝a2+6a+9﹣a2+9
＝6a+18．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0＜n＜5且n，y均为正整数，即可得出各招聘方案；
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
由题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴ 或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
19．（10分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神．某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）求选择A研学点的学生人数m；
（2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出A研学点的学生人数m；
（2）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出C研学点的学生人数，从而画出图形即可；
（3）根据条形统计图和扇形统计图的信息求出D研学点的学生人数的百分数，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵选择B研学点的学生人数66，所占百分数为：55%，
∴66÷55%＝120（人），
∴选择A研学点的学生人数为：120×15%＝18（人），
∴m＝18；
（2）∵选择A研学点的学生人数为：18人，参加调查的总人数为：120人，
∴选择C研学点的学生人数为：120﹣18﹣66﹣6＝30（人），
∴如图所示
（3）∵参加调查的总人数为：120人，选择C研学点的学生人数为6人，
∴扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
【分析】（1）首先证明四边形AOCB是矩形，然后根据点B的坐标得到AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，连接AD，根据垂直平分线的性质得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中根据勾股定理求出点D的坐标，然后代入求解即可；
（2）设AC于DE交于点M，首先根据题意证明△CDM≌△AEM（AAS），进而得到，然后进一步求出，，最后根据S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF代入求解即可；
（3）连接DF，首先根据题意证明△BFD∽△BAC，然后根据相似三角形的性质得到∠BFD＝∠BAC，最后根据平行线的判定定理即可证明DF∥AC．
【解答】解：（1）∵BA⊥x轴，BC⊥y轴∠COA＝90°，
∴四边形AOCB是矩形，
∵点B的坐标为（﹣4，2），
∴AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，
如图所示，连接AD，
∵点D恰好在线段AC的中垂线上，
∴AD＝CD，
∴设AD＝CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝4﹣x，
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣5；
（2）如图所示，设AC于DE交于点M，
∵线段AC的中垂线交线段AO于E，
∴AM＝CM，
∵BC∥AO，
∴∠DCM＝∠MAE，∠CDM＝∠MEA，
∴△CDM≌△AEM（AAS），
∴，
∵点F在AB上
∴点F的横坐标为﹣4
∴将xF＝﹣4代入，
解得，
∴，
∴，，
∴S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF
＝
＝
＝
＝
＝．
（3）如图所示，连接DF，
设F（a，），D（，b）
，＝＝，
，＝＝，
∴＝
又∵∠B＝∠B，
∴△BFD∽△BAC，
∴∠BFD＝∠BAC，
∴DF∥AC．
21．（15分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE．
（1）求证：BE＝CA；
（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
（3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积．
【分析】（1）运用SAS证明△DBE≌△DAC即可；
（2）过点D作DP⊥DF交BE于点P，根据△DBE≌△DAC证明∠BFC＝90°，再证明△BDP≌△CDF，得证∠DFB＝45°，计算即可；
（3）在CD上截取DE＝DA，连接BE，延长BE交AC于点F，根据（1）（2）得证△DBE≌△DAC，∠BFC＝90°，结合CM⊥CA，CM＝CA得证△BEN≌△MCN，计算，根据面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，CD＝BD，DE＝DA，
∴∠ADC＝∠EDB，
在△DBE和△DCA中，
，
∴△DBE≌△DCA（SAS），
∴BE＝AC．
（2）如图，过点D作DP⊥DF交BE于点P，
根据（1）得△DBE≌△DCA，∠DBE＝∠DCA，
∵∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠FEC+∠ECF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵DP⊥DF，CD⊥AB，
∴∠BDP＝∠CDF，
在△BDP和△CDF中，
，
∴△BDP≌△CDF（ASA），
∴DF＝DP，
∴∠DFB＝45°，
∴∠CFD＝∠BFC+∠DFB＝45°+90°＝135°．
（3）如图，在CD上截取DE＝DA，连接BE，延长BE交AC于点F，
根据（1）（2）得证△DBE≌△DAC，∠BFC＝90°，BE＝AC；
∵CM⊥CA，CM＝CA，
∴CM∥BF，BE＝MC，
∴∠BEN＝∠MCN，
在△BEN和△MCN中，
，
∴△BEN≌△MCN（AAS），
∴，
∴△NBC的面积为：．
22．（15分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知点A，B的坐标，再将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
（2）连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，由此可表达点Q的坐标，表达PQ的长，利用三角形的面积公式可得四边形AOCP的面积，最后利用二次函数的性质可得结论；
（3）若点P到AB和AC两边的距离相等，则点P在∠BAC的平分线上，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，设OD＝m，分别表达OE，CE和CD的长，利用勾股定理建等式得出m的长，求出直线AP的解析式，联立可得出点P得坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝，
∴A（﹣6，0）B（，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+6）（x﹣）＝ax2+ax﹣8a，
∴﹣8a＝﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣8；
（2）令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8）；
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣8；
连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，t2+t﹣8），Q（t，﹣t﹣8），
∴QP＝﹣t﹣8﹣（t2+t﹣8）＝﹣t2﹣6t，
∴S△APC＝（xC﹣xA）•QP＝×6×（﹣t2﹣6t）＝﹣3t2﹣18t；
∵OA＝6，OC＝8，
∴S△OAC＝•OA•OC＝×6×8＝24；
∴S四边形AOCP＝S△APC+S△OAC
＝﹣3t2﹣18t+24
＝﹣3（t+3）2+51，
∴当t＝﹣3时，四边形AOCP的最大值为51；
（3）存在，理由如下：
若点P到AB和AC两边的距离相等，则AP是∠BAC的平分线，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AP平分∠BAC，AB⊥OC，DE⊥AC，
∴OD＝DE，OA＝AE＝6，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10，
设OD＝m，
∴CD＝8﹣m，CE＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得，42+m2＝（8﹣m）2，
解得m＝3，
∴D（0，﹣3），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令﹣﹣3＝x2+x﹣8，
解得x＝﹣3（舍）或x＝，
∴P（，﹣）．
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