中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与胡不归型最值问题（2份打包，教师版+原卷版）

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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD＋PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ＋eq \f(1,4)OQ的最小值．
【答案解析】解：(1)抛物线的表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)由抛物线的表达式得，点M(﹣1，4)，点N(0，3)，
则tan∠MAC＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x＋b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x＋6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cs∠DEF＝eq \f(\r(5),5)，
设点E(x，﹣x2﹣2x＋3)，则点D(x，2x＋6)，
则FE＝EDcs∠DEF＝(﹣x2﹣2x＋3﹣2x﹣6)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(5),5)(﹣x2﹣4x﹣3)，
∵﹣eq \f(\r(5),5)＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D(﹣2，2)；
①点C(﹣1，0)关于y轴的对称点为点B(1，0)，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD＋PC＝PD＋PB＝DB为最小，则BD＝eq \r(13)；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝eq \f(1,4)，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ＋eq \f(1,4)OQ＝DQ＋QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝eq \r(15)x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x＋b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x＋2﹣，
故点Q(0，2﹣)，
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角(设为α)的正切值为，
则csα＝，则DQ＝＝＝，而eq \f(1,4)OQ＝eq \f(1,4)(2﹣)，
则DQ＋eq \f(1,4)OQ为最小值＝＋eq \f(1,4)(2﹣)＝．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A(﹣1，0)，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且tan∠ABE＝eq \f(4,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；
(3)点M是线段BE上的一点，求AM＋eq \f(4,5)ME的最小值，并求出此时点M的坐标．
【答案解析】解：(1)抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A(﹣1，0)，
∴B(3，0)，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
(2)∵B(3，0)，tan∠ABE＝eq \f(4,3)，
∴OD＝4，即D(0，4)．
∴直线BE的解析式为：y＝﹣eq \f(4,3)x＋4．
如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H，
设P(m，m2﹣2m﹣3)，则H(m，﹣eq \f(4,3)m＋4)，
∴PH＝﹣eq \f(4,3)m＋4﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋eq \f(2,3)m＋7，
∴S△BDP＝eq \f(1,2)×PH×3＝﹣eq \f(3,2)m2＋m＋eq \f(21,2)＝﹣eq \f(3,2)(m﹣eq \f(1,3))2＋eq \f(32,3)，
∵﹣eq \f(3,2)＜0，∴当m＝eq \f(1,3)时，即P(eq \f(1,3)，﹣)时△BDP的面积最大．
(3)如图，过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T，
∵ES∥x轴，
∴∠SEM＝∠EBA，
∵tan∠EBA＝eq \f(4,3)，
∴tan∠MES＝eq \f(4,3)，
∴sin∠MES＝eq \f(4,5)，
∴SM＝eq \f(4,5)EM，
∴AM＋eq \f(4,5)EM＝AM＋SM≥SA≥AT，
∴AM＋eq \f(4,5)EM的最小值为AT．
令x2﹣2x﹣3＝﹣eq \f(4,3)x＋4，解得x＝3(舍)或x＝﹣eq \f(7,3)，
∴E(﹣eq \f(7,3)，)，
∴AM＋eq \f(4,5)EM的最小值，此时M(﹣1，eq \f(16,3))．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴相交于点C(0，﹣2)，与x轴分别交于点B(3，0)和点A，且tan∠CAO＝1．
(1)求抛物线解析式．
(2)抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使eq \f(\r(2),2)PC＋PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵C(0，﹣2)，
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A(﹣2，0)，
将A(﹣2，0)，B(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣2；
(2)存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，
∵B(3，0)，C(0，﹣2)，
∴直线BC解析式是y＝eq \f(2,3)x﹣2，
设直线AM解析式为y＝eq \f(2,3)x＋m，将A(﹣2，0)代入得﹣eq \f(4,3)＋m＝0，
∴m＝eq \f(4,3)，∴直线AM解析式为y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(4,3)，M(0，eq \f(4,3))，
解得 (与A重合，舍去)或，
∴Q(5，eq \f(14,3))，
∵M、M'关于x轴对称，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'(0，﹣eq \f(4,3))，
∴Q'是满足题意的点，
设直线AQ'为y＝kx﹣eq \f(4,3)，将A(﹣2，0)代入得﹣2k﹣eq \f(4,3)＝0，∴k＝﹣eq \f(2,3)，
∴直线AQ'为y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,3)，
解得 (舍去)或，
∴Q(1，﹣2)；
综上所述，点Q坐标是(5，eq \f(14,3))或(1，﹣2)；
(3)在y轴上存在一个点P，使eq \f(\r(2),2)PC＋PD值最小，理由如下：
过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：
∵y＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣2＝eq \f(1,3)(x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(25,12)，
∴抛物线对称轴是直线x＝eq \f(1,2)，
∴D(eq \f(1,2)，0)，
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝eq \f(\r(2),2)PC，
∴eq \f(\r(2),2)PC＋PD最小即是PH＋PD最小，
∴当P运动到P'，H和H'重合时，eq \f(\r(2),2)PC＋PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝eq \f(\r(2),2)AD，
∵A(﹣2，0)，D(eq \f(1,2)，0)，
∴AD＝eq \f(5,2)，
∴DH'＝eq \f(5,4)eq \r(2)，即eq \f(\r(2),2)PC＋PD的最小值是eq \f(5,4)eq \r(2)．
已知抛物线y＝x2﹣2x＋c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为(3，0)，其对称轴交x轴于点C．
(Ⅰ)求该抛物线的顶点D的坐标；
(Ⅱ)设P是线段CD上的一个动点(点P不与点C，D重合)．
①过点P作y轴的垂线l交抛物线(对称轴右侧)于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；
②连接PB，求PD＋eq \r(5)PB的最小值．
【答案解析】解：(Ⅰ)∵抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点B(3，0)，
∴9﹣6＋c＝0，
解得c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的顶点D的坐标是(1，﹣4)；
(Ⅱ)①过Q作QE∥y轴交BD于E，如图：
设直线BD解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，D(1，﹣4)代入得：
，解得，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
根据题意知Q在线段BD下方，设Q(m，m2﹣2m﹣3)，其中1＜m＜3，则E(m，2m﹣6)，
∴EQ＝2m﹣6﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋4m﹣3，
∴S△QBD＝eq \f(1,2)EQ|xB﹣xD|＝eq \f(1,2)(﹣m2＋4m﹣3)×(3﹣1)＝﹣m2＋4m﹣3＝﹣(m﹣2)2＋1，
∵﹣1＜0，1＜m＜3，
∴m＝2时，S△QBD最大值为1，
答：△QBD面积的最大值是1；
②连接AD，过A作AH⊥BD于H，过P作PF⊥BD于F，连接AP，如图：
∵P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB，
在Rt△DBC中，BD＝2eq \r(5)，
∴sin∠BDC＝eq \f(\r(5),5)，
在Rt△DPF中，PF＝PDsin∠PDF＝eq \f(\r(5),5)PD，
∴PD＋eq \r(5)PB＝eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)PD＋PB)＝eq \r(5)(PF＋PA)≥eq \r(5)AH，
由2S△ABD＝ABCD＝BDAH得：AH＝eq \f(8\r(5),5)，
∴PD＋eq \r(5)PB≥eq \r(5)×eq \f(8\r(5),5)＝8，即PD＋eq \r(5)PB的最小值是8．
如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P(x，y)在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
(3)设F为线段BD上的一个动点(异于点B和D)，连接AF．是否存在点F，使得2AF＋DF的值最小？若存在，分别求出2AF＋DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：把x＝﹣5代入y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)，解得y＝3eq \r(3)，
∴D(﹣5，3eq \r(3))，
把D(﹣5，3eq \r(3))代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，
∴抛物线的解析式为；
(2)设直线BD与y轴交于点E，∴E(0，eq \f(4\r(3),3))，
由可得A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，)，
由S△BCD＝S△ABP，
∴eq \f(1,2)CE|xB﹣xD|＝eq \f(1,2)AB|yP|，
∴(﹣)×(4＋5)＝(4＋2)×|yP|，
∴|yP|＝eq \f(10,3)eq \r(3)，∴yP＝±eq \f(10,3)eq \r(3)，
∵抛物线的顶点为(1，﹣eq \r(3))，∴yP＝eq \f(10,3)eq \r(3)，
∴P点坐标为或；
(3)存在点F，使得2AF＋DF的值最小，理由如下：
过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝eq \f(1,2)，∴HF＝eq \f(1,2)DF，
∴2AF＋DF＝2(AF＋eq \f(1,2)DF)＝2(AF＋HF)＝2AH，
当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF＋DF取最小值，
∵A(﹣2，0)，
∴F(﹣2，2eq \r(3))，
∵D(﹣5，3eq \r(3))，
∴AH＝3eq \r(3)，
∴2AF＋DF的最小值为6eq \r(3)．
如图，抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，直线y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)经过点A、C，点M是线段AC上的一动点(不与点A，C重合)．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值及此时点M的坐标；
(3)连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．
【答案解析】解：(1)在y＝﹣xeq \r(2)2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令y＝0得：
﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A(﹣7，0)，B(1，0)；
(2)过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：
抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)的对称轴为直线x＝﹣3，
在y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令x＝0得y＝7eq \r(2)，
∴C(0，7eq \r(2))，∴AC＝7eq \r(3)，∴sin∠CAB＝eq \f(\r(6),3)，
在Rt△AMN中，MN＝AMsin∠CAB＝eq \f(\r(6),3)AM，
∴PM＋eq \f(\r(6),3)AM最小，即是PM＋MN最小，由垂线段最短可知PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值即为PN的长，
∵点P，C(0，7eq \r(2))关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，
∴PN与OC关于抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)的对称轴直线x＝﹣3对称，P(﹣6，7eq \r(2))，
∴PN＝OC＝7eq \r(2)，即PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值为7eq \r(2)，
由A(﹣7，0)，C(0，7eq \r(2))得直线AC解析式为y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)，
在y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令x＝﹣6得y＝eq \r(2)，∴M(﹣6，eq \r(2))；
(3)过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图：
∵A(﹣7，0)，B(1，0)，C(0，7eq \r(2))，
∴AB＝8，AC＝7eq \r(3)，
∵∠MAO＝∠BAC，
∴△AOM与△ABC相似，分两种情况：
①当△ABC∽AMO时，＝，∴＝，∴AM＝，
∵MH⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴△AMH∽△ACO，
∴＝＝，即＝，∴AH＝，MH＝，
∴OH＝OA﹣AH＝eq \f(13,3)，
∴M(﹣，)，
②当△ABC∽△AOM'时，
∴＝，即＝，∴AM'＝，
同理可得＝＝，∴＝，
∴AG＝，M'G＝，∴OG＝OA﹣AG＝，
∴M'(﹣，)，
综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为(﹣，)或(﹣，)．
如图所示，已知抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CABtan∠CBA＝1．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点P是抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
(3)若M为线段AO上任意一点，求MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值．
【答案解析】解：(1)设点A、B的横坐标分别为x1，x2，
令y＝0可得﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c＝0，
∴x1x2＝﹣2c，
∵tan∠CABtan∠CBA＝1，
∴OC2＝OAOB＝(﹣x1)x2＝2C，
即c2＝2c，解得c1＝0(舍去)，c2＝2，
∴抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故点A(﹣4，0)，点B(1，0)；
(2)△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C'(0，﹣2)，
设直线AC'的解析式为y＝kx＋b，将点A(﹣4，0)，C'(0，﹣2)代入，
得，解得，
∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，联立抛物线与直线得
，解得，，
故点P坐标(2，﹣3)；
(3)过点A作直线AD，使sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，过点M作ME⊥AD于点E，如图，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，∴ME＝eq \f(\r(5),5)AM，
∴MC＋eq \f(\r(5),5)AM＝MC＋ME，当点M、C、E三点共线时，MC＋ME最小为CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，OC＝2，
∴tan∠OCM＝eq \f(1,2)，cs∠OAD＝eq \f(2\r(5),5)，
∴OM＝1，CM＝eq \r(5)，∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，AM＝3，
∴EM＝3sin∠OAD＝eq \f(3\r(5),5)，∴MC＋ME＝eq \f(3\r(5),5)＋eq \r(5)＝eq \f(8\r(5),5)．
故MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值eq \f(8\r(5),5)．
已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝eq \f(3,2)OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求eq \f(1,2)EF＋eq \f(\r(5),10)BF的最小值．
(3)如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【答案解析】解：(1)在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，
令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝eq \f(3,2)OA，
∴OC＝3，即C(0，3)，
将C(0，3)代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣eq \f(1,4)，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3；
(2)过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：
∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3对称轴为直线x＝2，
∴P横坐标为2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣(﹣2)＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E横坐标为4，在y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3中令x＝4得y＝3，
∴E(4，3)，
由(1)可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝3eq \r(5)，
∴sin∠CBO＝eq \f(\r(5),5)，
∵EH⊥x轴，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝eq \f(\r(5),5)，
∴FQ＝eq \f(\r(5),5)BF，
而eq \f(1,2)EF＋eq \f(\r(5),10)BF＝eq \f(1,2)(EF＋eq \f(\r(5),5)BF)，
∴eq \f(1,2)EF＋eq \f(\r(5),10)BF最小即是EF＋eq \f(\r(5),5)BF最小，也是EF＋FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF＋eq \f(\r(5),5)BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF＋eq \f(\r(5),5)BF的最小值为3，
∴eq \f(1,2)EF＋eq \f(\r(5),10)BF的最小值为eq \f(3,2)；
(3)将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：
∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3顶点M(2，4)，
又C(0，3)，
∴CM的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋3，
由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x＋b，将M(2，4)代入得：4＝﹣2×2＋b，
∴b＝8，
∴MQ解析式为y＝﹣2x＋8，
在y＝﹣2x＋8中令y＝0得x＝4，
∴Q(4，0)，
而C(0，3)，
∴CQ解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1(4，t)，
代入y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3得：t＝﹣eq \f(1,4)×16＋4＋3＝3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3＋t，
由只有一个解，
可得﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(7,4)x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即(eq \f(7,4))2﹣4×(﹣eq \f(1,4))(﹣t)＝0，
解得t＝，
∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．
已知抛物线y＝ax2＋bx(a，b为常数，a≠0)与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为(2，4)．
(Ⅰ)求抛物线的解析式；
(Ⅱ)点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；
(Ⅲ)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC＋eq \r(5)QA的最小值．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx顶点C的坐标为(2，4)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x，
(2)过P作PQ交AC于Q，如答图1：
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x，
∴令y＝0得x1＝0，x2＝4，
∴A(4，0)，
设直线AC解析式为y＝kx＋b，将A(4，0)、C(2，4)代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣2x＋8，
设P(m，﹣m2＋4m)，则Q(m，﹣2m＋8)，
∴PQ＝(﹣m2＋4m)﹣(﹣2m＋8)＝﹣m2＋6m﹣8，
∴S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝eq \f(1,2)PQ(xA﹣xC)＝eq \f(1,2)(﹣m2＋6m﹣8)×(4﹣2)＝﹣m2＋6m﹣8，
当m＝3时，S△PAC最大为1，∴△PAC面积的最大值是1；
(3)∵QC＋eq \r(5)QA＝eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)QC＋QA)，∴要使QC＋eq \r(5)QA最小，即是eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小，
设抛物线对称轴交x轴于D，以C为顶点，CD为一边，在对称轴左侧作∠ECD，使sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，过A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，过Q作QF⊥CE于F，如答图2：
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，QF⊥CE，∴QF＝eq \f(\r(5),5)QC，∴eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小即是QF＋QA最小，
此时F与B重合，Q与Q′重合，eq \f(\r(5),5)QC＋QA的最小值即是AB的长度，
∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°，∴∠ECD＝∠Q′AD，
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，∴sin∠Q′AD＝eq \f(\r(5),5)，
可得tan∠Q′AD＝eq \f(1,2)，cs∠Q′AD＝eq \f(2\r(5),5)，
而A(4，0)、C(2，4)知DA＝2，
∴Q′A＝eq \r(5)，Q′D＝1，∴Q′C＝3，
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，∴Q′B＝eq \f(3\r(5),5)，∴AB＝Q′A＋Q′B＝eq \f(8\r(5),5)，
∴eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小为eq \f(8\r(5),5)，
∴QC＋eq \r(5)QA最小为eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)QC＋QA)＝8．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，B(0，eq \r(3))，C(1，0)，其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；
(3)若M为y轴上的一个动点，连接ME，求eq \f(1,2)MB＋ME的最小值．
【答案解析】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得
，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \f(\r(3),2)x＋eq \r(3)；
(2)由函数的表达式知，函数的对称轴为x＝﹣eq \f(1,2)，故设点P的坐标为(eq \f(1,2)，m)．
∵C(1，0)，B(0，eq \r(3))，
∴BC2＝1＋3＝4，直线BC的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋eq \r(3)，
①以C为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时CP＝BC，
则(eq \f(1,2)＋1)2＋m2＝4，解得m＝±eq \f(\r(7),2)，
即此时点P的坐标为P1(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))或P2(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(\r(7),2))(舍去)；
②以B为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BP＝BC，
则(eq \f(1,2))2＋(m﹣eq \r(3))2＝4，解得m1＝eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15)或m2＝eq \r(3)﹣eq \f(1,2)eq \r(15)，
即此时点P的坐标为P3(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或P4(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)﹣eq \f(1,2)eq \r(15))(舍去)；
③线段BC的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时CP＝BP，
则(eq \f(1,2)＋1)2＋m2＝(eq \f(1,2))2＋(eq \r(3)﹣m)2，解得m＝eq \f(\r(3),6)，
即此时点P的坐标为P5(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))；
故点P的坐标为(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))或(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))；
当点P的坐标为P(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))时，
∵BC∥PQ，故直线PQ的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋t，
将点P的坐标代入上式得：eq \f(\r(7),2)＝﹣eq \r(3)×(﹣eq \f(1,2))＋t，解得t＝eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
故直线PQ的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
则设点Q的坐标为(x，y)，其中y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
由菱形的性质知，BP的中点即为CQ的中点，
由中点公式得：eq \f(1,2)(x﹣eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)(0＋1)，解得x＝﹣eq \f(3,2)，
当x＝﹣eq \f(3,2)时，y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)+eq \f(\r(7),2)，
故点Q的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \r(3)+eq \f(\r(7),2))，
同理可得，点P(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))时，
对应的点Q的坐标分别为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)eq \r(15))或(eq \f(3,2)，eq \f(5,6)eq \r(3))，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \r(3)+eq \f(\r(7),2))或(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)eq \r(15))或(eq \f(3,2)，eq \f(5,6)eq \r(3))；
(3)如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时eq \f(1,2)BM＋ME最小．
理由：∵OC＝1，OB＝eq \r(3)，
∴tan∠CBO＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠CBO＝30°，
∴MH＝eq \f(1,2)BM，
∴eq \f(1,2)BM＋ME＝MH＋EM＝EH，
∴此时eq \f(1,2)BM＋ME最短，
在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝eq \f(3,2)，∠HCE＝60°，
∴EH＝eq \f(3,4)eq \r(3)，
∴eq \f(1,2)BM＋ME的最小值为eq \f(3,4)eq \r(3)．