中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与单线段最值问题（2份打包，教师版+原卷版）

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1.如图，已知抛物线y＝a(x﹣3)(x＋6)过点A(﹣1，5)和点B(﹣5，m)，与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，m的值和点C的坐标；
(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0，﹣eq \f(7,4))，点B(1，eq \f(1,4))．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m＋1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2＋bx＋c(﹣2≤x＜eq \f(1,3))的图象交点个数及对应的m的取值范围．
3.已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C．
(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)如图1，过点A的直线y＝ax＋a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．
(3)如图2，直线DE：y＝kx＋b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．
4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝eq \f(3,5)，5OA＝3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；
(3)已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．
5.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6.已知点A(1，0)是抛物线y＝ax2＋bx＋m(a，b，m为常数，a≠0，m＜0)与x轴的一个交点．
(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m，0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2eq \r(2)．
①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是eq \f(\r(2),2)？
7.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
8.如图，抛物线的顶点为A(h，﹣1)，与y轴交于点B(0，﹣eq \f(1,2))，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l是过点C(0，﹣3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
9.如图所示，抛物线y＝ax2﹣eq \f(3,2)x＋c经过原点O与点A(6，0)两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
(2)求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
(3)点P(x，y)是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．
10.如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c(a≠0)经过点A(﹣1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；
②当点F到直线AE的距离为eq \r(2)时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．