专题04 立体几何（选择填空压轴题）（学生版+解析版）-冲刺2023年高考数学压轴题模拟题分类汇编（新高考专用）

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2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编——立体几何
一、单选题
1.（2023春·广东广州·高三中山大学附属中学校考）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥底面为矩形，且，，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（    ）．
A． B． C． D．
2.（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）如图，在边长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ）

A． B．
C．直线与平面所成角的最小值是 D．的最小值为
3.（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（    ）

A．M，N，B，四点共面 B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为
4.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，正确的有（    ）A．恒有 B．与底面所成角的最大值为
C．恒有 D．三棱锥外接球表面积的最小值为
5.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为 ，母线长为，设圆台体积为，正方体的外接球体积为，则（    ）
A． B． C． D．
6.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（       ）

A． B． C． D．
8.（2023·湖南永州·统考二模）如图，在三棱锥中，，点在平面内，过作于，当与面所成最大角的正弦值是时，与平面所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．
9.（2023·福建·统考一模）在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖南邵阳·统考一模）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ）

A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为
11.（2023春·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．


12.（备战2023高考数学黄金30题系列之压轴题（新课标版））如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（    ）

A． B． C． D．
13．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（    ）
A． B． C． D．
14.（2023·河北·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（    ）

A．三角形的面积无最大值、无最小值 B．存在点，满足
C．存在有限个点，使得三角形是等腰三角形
D．三棱锥的体积有最大值、无最小值
15.（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（    ）
A． B． C． D．
16.（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
17．（2022·广东广州·高三开学考试）若空间中经过定点O的三个平面，，两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面的个数为n，则（       ）
A．4 B．8 C．12 D．16
18.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．
19.（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（    ）
A． B． C． D．
20.（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（       ）

A． B．
C． D．
21.（2022·广东·高三阶段练习）如图，AB是半球的直径，O为球心，，P为此半球大圆弧上的任意一点（异于A，B），P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作QR⊥AB于R，连接PR，OP，若二面角P-AB-Q为，则三棱锥P-OQR体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．
二、 多选题
1.（2023·辽宁沈阳·沈阳二十中校考）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上.平面ABC，在底面中，，，，若球O的体积为，则下列说法正确的是（    ）
A．球O的半径为 B．
C．底面外接圆的面积为 D．
2.（2023春·湖南岳阳·高三阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确的是（    ）
A．当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B．记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为
C．当点P为中点时，异面直线与所成角为
D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
3.（2023春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知正三棱柱的所在棱长均为2,P为棱上的动点,则下列结论中正确的是（    ）
A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 B．该正三棱柱外接球的表面积为
C．存在点P,使得 D．点P到直线的距离的最小值为
4.（2023春·广东广州·高三校考）如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（    ）

A．点为的中点 B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
5.（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），球的表面积为，体积为，则（    ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列

6.（2023·广东广州·统考二模）如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（    ）
A．直线可能与平面相交
B．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
C．当时，与平面所成角最大
D．当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为
7.（2023·湖南湘潭·统考二模）如图，在棱长为的正方体中，是线段的中点，点，满足，其中，则（    ）
A．存在，使得平面平面
B．存在，使得平面平面
C．对任意的最小值为
D．当时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为
8.（2023·福建·统考一模）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．不存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
9.（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）正方体的棱长为，中心为，以为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球的半径为（    ）
A． B． C． D．


10．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长

11.（2023·湖南永州·统考二模）如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（    ）

A．点到平面的距离是 B．点到平面的距离是
C．正方体底面与平面夹角的余弦值是 D．在平面内射影与所成角的余弦值为
12.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
13.（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面，下面说法正确的是（    ）
A．若N为DD1中点，当AM+MN最小时，CM=
B．当点M与点C1重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．若点M为CC1的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为
D．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
14．（2023春·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考）如图，正方体棱长为1，点是线段上的一个动点，下列结论中正确的是（    ）
A．存在点，使得
B．三棱锥的体积为定值
C．若动点在以点为球心，为半径的球面上，则的最小值为
D．过点，，作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是
15．（2023春·湖北襄阳·高三期末）正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（    ）
A．平面 B．四边形的面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则 D．若，则四棱锥的体积为
16．（2023春·山东·高三校联考阶段练习）在棱长为2的正方体中，点为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（    ）．
A．三棱锥的体积为定值
B．在点运动过程中，存在某个位置使得平面
C．截面三角形面积的最大值为
D．当三棱锥为正三棱锥时，其内切球半径为
17.（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（       ）

A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是
18.（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（    ）

A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为 D．存在点，使得
19.（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）在棱长为1正方体中，若点为棱上的一动点，则下列说法中正确的有 （    ）
A．的最小值为
B．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
C．平面与平面所成夹角取最小值时，则线段
D．若点分别为棱的中点，点为线段上的动点，则直线与平面交点的轨迹长度为
20.（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）如图，已知正三棱柱中，为的中点，直线与平面的交点为，则以下结论正确的是（    ）

A． B．直线平面
C．在线段上不存在一点使得
D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
21.（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）如图，三棱锥中，，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．时，； B．存在一个定点，使恒成立；
C．无法使成立； D．在的面积为（为常数）时，三棱锥的体积最大为
22.（福建省厦门第一中学2023届高三上学期12月月考数学试题）在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是（    ）
A．存在某个位置，使得 B．不存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得
23.（江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在矩形中，，，E为DC的中点．将绕直线BE旋转至的位置，F为的中点，则（    ）
A．存在某个位置，使得 B．存在无数个位置，使得∥平面
C．当二面角为120°时，点F到平面的距离为
D．当四棱锥的体积最大时，以为直径的球面与被平面截得的交线长为
24.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（    ）
A．平面 B．三棱锥的外接球直径
C．在圆锥侧面上，点到的中点的最短距离必大于
D．记直线与过点的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为双曲线.
25.（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A点变为，则（    ）
A． B．三棱锥体积的最大值为
C．当时，三棱锥的外接球的半径为 D．当时，
26.（2022·山东济南·模拟预测）在正四面体中，若，则下列说法正确的是（    ）
A．该四面体外接球的表面积为 B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
27.（2022·山东·模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，点Q是的中点，点P满足，下列结论正确的是（       ）
A．点P的轨迹的周长为 B．点P的轨迹的周长为
C．三棱锥的体积的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为
28.（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（       ）

A．M，N，B，四点共面 B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为
29.（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正方体的棱长为2，、、是棱、、上的动点（包含端点），且满足，则下列结论正确的是（    ）
A．平面 B．存在、、，使得点到平面的距离为1
C．平面截此正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截此正方体所得截面的周长为定值
30．（2022春·福建福州·高三校联考期中）如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（    ）

A．的最小值是 B．
C．三棱锥的体积是定值 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围是
31.（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（    ）

A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为 D．存在点，使得
32.（2022·山东济南·模拟预测）在正四面体中，若，则下列说法正确的是（    ）
A．该四面体外接球的表面积为 B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
33.（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A点变为，则（    ）
A． B．三棱锥体积的最大值为
C．当时，三棱锥的外接球的半径为 D．当时，
34.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点使得平面 B．若，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则三棱锥的体积为定值
35.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（       ）

A．MN和BC不可能平行 B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是，则 D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π
36.（2022·广东·高三阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（       ）

A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为
C．不存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足
37.（2022·广东·高三开学考试）直六棱柱中，底面是边长为2的正六边形，侧棱，点是底面的中心，则（       ）
A．平面 B．与所成角的余弦值为
C．平面 D．与平面所成角的正弦值为
三、 填空题
1.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到达点处（如图②），，则三棱锥的内切球半径为______.

2.（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．
3.（2023春·江苏南京·高三期末）在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,平面平面,则体积的最大值为__________.
4.（2023·河北·模拟预测）《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.


5.（2022春·山东威海·高三威海市第一中学校联考阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，．以A为球心，表面积为的球面与侧面PBC的交线长为______．
6.（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）在平面四边形中，，，，，将沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
7.（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为___________.
9．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为___________.
10.（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点作的垂线，则与平面所成的最大角的正弦值___________.

11.（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）在平面四边形中，，，，，将沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
12.（2023·湖南邵阳·统考一模）在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______.
13.（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
14.（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为___________.
15.（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知直三棱柱中，，，分别为棱，的中点，过点作平面将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为，则__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面积为__________．