河南省许昌市禹州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案）

2022-2023学年河南省许昌市禹州市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某种粒子的质量为，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是(    )

A.   笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰形曲线
C.   蝴蝶形曲线 D.     太极曲线

5.  若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值(    )

A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变

6.  如图，在中，平分，若，，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  如图，在中，线段的垂直平分线交于点，若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  把多项式分解因式的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若一个多边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线有        条

12.  如图，在和中，已知，，请添加一个条件        ，使得≌．

13.  若的乘积中不含的一次项，则的值为        ．

14.  如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ______
 

15.  若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解分式方程：．

19.  本小题分
如图，已知，利用尺规，根据下列要求作图保留作图痕迹，不写作法，并根据要求填空：
作的平分线交于点；
作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
与的位置关系为        ．

20.  本小题分
春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品已知每个灯笼的进价比每幅春联的进价多元，超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同求每个灯笼的进价和每幅春联的进价各是多少元？

21.  本小题分
如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
求证：是等腰三角形；
若，，，求的长．

22.  本小题分
数学活动课上，老师把一个边长为的正方形分割成块，如图所示．
请用两种不同的方法表示出图中大正方形的面积：方法：        ；方法：        ．
观察图形，请你写出代数式、、之间的等量关系：        ．
根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
若，求的值．

23.  本小题分
在中，，．

如图，点为边上一点，连接，以为边作，，，连接，求证：．
如图，点为延长线上一点，连接，以为边作，，，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，

故选：．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题侧重考查用科学记数法表示小数的题目，回想科学记数法的一般形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，由题意得：
，
则，
故选：．
根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
本题考查三角形三边关系，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值不变，
故选：．
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，
点到和的距离相等，
：：：：，
故选：．
先根据角平分线性质得到点到和的距离相等，然后根据三角形面积公式得到：：．
本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线性质是解此题的关键，角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：线段的垂直平分线交于点，，，
，
的周长．
故选：．
先根据线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，




，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法运算法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
应先提取公因式，然后根据平方差公式的特点，再利用平方差公式分解．
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看能否用公式．注意分解要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设此多边形的边数为，由题意得：
，
解得，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：．
故答案为：．
首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：添加的条件是或或，
理由是：在和中，
，
≌．
，，，
≌
，，，
≌．
故答案为：或或．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
不含有的一次项，
，
解得：，
故答案为：．
根据多项式乘多项式的法则计算出与的积，再令一次项的系数为可求出的值．
本题考查多项式乘多项式，掌握整式乘法的计算方法是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．
由等边三角形三线合一性质，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数．
解：为等边三角形，为中线，
，，
．
，
，
．
故答案为：．
 

15.【答案】且． 

【解析】解：
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且．
首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是正确得出分母不为零．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算乘方，再算乘法；
先用平方差公式和完全平方公式展开，合并后再算除法．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
 

18.【答案】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解，
原方程的解是：． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查解分式方程，关键是把分式方程转化为整式方程求解，另外解分式方程一定注意要验根．
 

19.【答案】， 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，．
故答案为：，．
利用基本作图作平分，
利用基本作图作垂直平分；
由平分得到，利用垂直平分线的性质得，则，所以，于是可判断，然后利用等腰三角形的判定方法得到，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

20.【答案】解：设每幅春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每个灯笼的进价是元，每幅春联的进价是元． 

【解析】设每幅春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，利用数量总价单价，结合超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出每幅春联的进价，再将其代入中，即可求出每个灯笼的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，，
，
而，
，
，
是等腰三角形；
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论；
根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出，即可推出结论．
 

22.【答案】     

【解析】解：由题意得，该正方形的面积可表示为或，
故答案为：，；
由题可得，
即，
故答案为：；
由题结果可得，
，
当，时，



，
即的值是；
由题结果可得，
，
，
，
，




，
即的值是．
根据图形面积整体求解和部分求和的方法进行列式表示；
结合题结果可得；
先由题结果可得，再将，代入进行求解；
先由题结果可得，再将进行变形、代入求解．
此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能结合几何图形进行准确列式、归纳、应用．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
，
，
≌，
；
解：理由如下：
，
，
即，
，，
≌，
，
． 

【解析】由等腰直角三角形可得，证明≌，可得结论；
同理证明≌，可得，进而可得结论．
此题考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，判断出≌是解本题的关键．