2022湖州三贤联盟高一下学期期中联考数学试题含答案

这是一份2022湖州三贤联盟高一下学期期中联考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了 若向量，，则， 如图，是利用斜二测画法画出的等内容，欢迎下载使用。
2021学年第二学期湖州市三贤联盟期中联考高一年级数学学科试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【1题答案】【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义即可求出答案.【详解】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.2. 若向量，，则（）A.  B.  C.  D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】已知向量，，则.故选：D.3. 中内角所对的边分别为，已知，则（）A.  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】由余弦定理得：，所以.故选：A.4. 如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（）A.  B. C.  D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可【详解】由题可知，在中，，因为的面积为16，，所以，，，因为，轴于点，所以.故选：C.5. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A.  B.  C.  D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意得在方向上的投影向量为：，再求解计算即可.【详解】由题意：，所以在方向上的投影向量为：.故选：A.6. 我们的数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与任意距离处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明总成立.据此，当时“椭半球体”的体积是（）A.  B.  C.  D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】由祖暅原理可得“椭半球体”的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，根据圆柱，圆锥的体积公式可求其解.【详解】设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与距离处的平面截得的圆面，圆环面的面积分别为，，体积分别为,，则，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故，故选：B.7. 如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱接近地面的场景.伞面是半径为的半球面，伞顶与返回舱底端的距离为半球半径的5倍，直线与水平地面垂直于和观测点在同一水平线上.在测得点的仰角，已知，，则此时返回舱底端离地面距离为（）A.  B. C.  D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】先由已知条件求出，再在中利用正弦定理求出的长，然后利用直角三角形的边角关系求出，从而可求出的长【详解】因为伞面是半径为的半球面，伞顶与返回舱底端的距离为半球半径的5倍，所以，在中，，，由正弦定理得,,在直角中，，所以，所以，故选：D8. 已知为正方体表面上的一个动点，是棱延长线上一点，且，若，则动点的运动轨迹的长为（）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意可知，且点的轨迹是以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，作出草图，根据弧长公式即可求出结果．【详解】因为，是棱延长线上的一点，且，所以，由勾股定理，可知，因为，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示：所以动点运动轨迹在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；所以动点运动轨迹的长为．故选：C．二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A. 的共轭复数为 B.  C.  D. 【9题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据共轭复数、复数的模长公式以及四则运算求解即可.【详解】的共轭复数为，，，.故选：ABD10. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（）A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交【10题答案】【答案】BD【解析】【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.【详解】A. 若内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知，故错误；B. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，故内不存在与平行的直线，故正确；C. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线与共面，故错误；D. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线有无数条与相交，故正确；故选：BD11. 在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（）A. BC. 均为锐角，且D. 【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】选项A由余弦定理可判断；选项B由向量的数量积定义可判断；选项C由诱导公式有，由正弦函数的单调性可判断；选项D由正弦定理可得则由大边对大角可判断.【详解】对于为锐角，故正确；对于为钝角，故错误对于均为锐角；且因为可得则为锐角，故正确.对于由正弦定理得则为锐角，故正确.故选：ACD12. 已知向量满足.则下列说法正确是（）A.  B. 若，则C. ，有 D. 若，则的值唯一【12题答案】【答案】BC【解析】【分析】由向量的平方即得模的平方，化简计算可判断A；由向量垂直条件，数量积为0，可判断B；由向量的平方即得模的平方，结合二次函数的最值，可判断C；由向量减法和向量的平方即为模的平方，计算可判断D.【详解】对于A，由于.可得：，即，所以A错误.对于B，，则得，，则，故B正确.对于C，，，故C正确.对于D，，则，结果不唯一，故D错.故选：BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带入数据即可．【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．14. 已知为虚数单位，复数的虚部为___________.【14题答案】【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算，求出，即可得出答案.【详解】由，所以复数的虚部为.故答案为：.15. 已知，则的取值范围是___________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可.【详解】因为，所以，故答案为：.16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）.在斜中，分别为内角所对的边，若，且.则此面积的最大值为___________.【16题答案】【答案】【解析】【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值．【详解】解：∵，∴，即，即，又且，则，∴，∴，又，所以，解得，∴，∴时，．故答案为：．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程.17. 已知为虚数单位，实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：（1）纯虚数；（2）复平面内对应点在直线上.【17题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）实部为0，虚部不为0即可；（2）实部等于虚部即可得解.【小问1详解】由已知解得【小问2详解】由已知19. 已知不共线的向量满足.（1）是否存在实数，使与共线？若存在请求出，若不存在请说明理由；（2）若，求实数的值.【19题答案】【答案】（1）存在，；（2）或.【解析】【分析】（1）假设存在实数满足题意，根据平面向量的共线定理，即可求得参数值；（2）求得，以及，结合向量垂直则数量积零，带值计算即可.【小问1详解】假设存在实数，使得与共线，则存在实数，满足.因为不共线，有，解得，存在实数，使与共线.【小问2详解】由已知，，解得，由已知，得，则，即，解得或.21. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，点在边上，且，求的长度.【21题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理求解；（2）先利用余弦定理求得边a，进而得到BD，再在中，利用余弦定理求解.【小问1详解】解：在中，由正弦定理得，，，有，又，，.小问2详解】由（1）知，，又，由余弦定理得，，即，即，得或（舍去），在中，，，23. 如图所示的圆锥，顶点为，底面半径，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为，这个平面与母线交于点，线段的长为.（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段的中点开始沿着侧面绕一圈到点，求这根绳最短时的长度.【23题答案】【答案】（1）体积为，侧面积为（2）【解析】【分析】（1）利用台体的体积与侧面积公式可求得结果；（2）作出圆锥的侧面展开图，可知扇形的圆心角为，结合勾股定理可求得结果.【小问1详解】解：由已知圆台下底面半径，上底面半径，可得，圆台的高，圆台的体积，圆台的侧面积.【小问2详解】解：作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度为侧面展开图中的长度.由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，侧面展开图的圆心角为，则在三角形中，，则.25. 为了美化城市空间，拓展市民公共活动场所，某市拟把一块直角三角形空地修建成一个“口袋公园”（指规模很小的城市户外空间）.建造时，须在公园内留出一块绿地（区域），在上，其余区域为休闲区.（1）当图中三个区域的面积相等时，求绿地区域的周长；（2）若，为使休闲区尽量大，设，问为何值时，绿地区域的面积最小？最小面积是多少？【25题答案】【答案】（1）（2），最小值为【解析】【分析】（1）首先利用锐角三角函数求出，，再根据面积相等求出，分别在、中利用余弦定理求出、，即可得解；（2）在、中利用正弦定理表示出、，再根据以及三角恒等变换公式化简，得到，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：由已知，，当时，.在中，，，，，，在中，，，，，，绿地区域的周长为；【小问2详解】解：在中，，在中，，所以，，当即时，的最大值为1，此时面积取得最小值为.27. 已知为等边三角形，点是的重心.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，，（1）求的值；（2）设的周长为，的周长为，设，记的表达式为，求；（3）在（2）的条件下，设，求的取值范围.【27题答案】【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意得，再利用，，三点共线求解即可；（2）根据题意得，即可求解；（3）根据题意得，求出的范围代入求值域即可.【小问1详解】连接并延长，交于点，则为中点，所以，又为重心， 所以又，，三点共线，所以，即【小问2详解】设的边长为1，则,， 在中，，所以，所以，因为，，所以，因为，所以【小问3详解】，因为，，所以，，又，因为，所以，因为，所以的最小值：，最大值为：，所以，所以，所以.