浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1.在空间坐标系中，点关于轴的对称点为
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，直线的斜率是
A. B. C. D.
3.已知向量，且与互相垂直，则k＝
A. B. C. D.
4. “且”是“方程表示椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆=2上，则面
积的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左右焦点分别为,,离心率为,若椭圆上存在点,使得 QUOTE ,
则该离心率的取值范围是
A. B. C. D.
7.如图，某市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是
椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半
轴长为1（单位：千米）．根据市民建议，欲新建一条公路，点，分
别在公路，上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，
(第7题图)
的长为
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，两两垂直且相等，若空间中动一点满足，其中
且.记与平面所成的角为，则的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.已知直线经过点，且直线的一个方向向量为，则下列结论中正确的是
A.在轴上的截距为 B.的倾斜角等于
C.与直线垂直 D.向量为直线的一个法向量
10.若，分别为，上的动点，且∥，下面说法正确的有
A.直线的斜率为定值B.当时，的最小值为
C.当的最小值为1时， D.
11.直线与曲线恰有一个交点，实数可取下列哪些值
A.B.C. 1 D.
12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，
则
A.当时,的周长为定值 B.当时,三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得平面
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，，若，，共面，则实数＝ ▲ .
14.过点作圆的切线，则切线的方程为 ▲ .
15.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，则线段
的长为 ▲ ．
16.舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可
绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子 QUOTE 可沿滑槽滑动.当点 QUOTE 在滑槽
内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的
运动轨迹为,点的运动轨迹为.若，，过
(第16题图)
上的点向作切线，则切线长的最大值为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)如图，在平行六面体中，，
.
求：(Ⅰ)； (Ⅱ) 的长.
(第17题图)
18. (本小题满分12分)已知直线经过点.
（Ⅰ）当在两坐标轴上的截距相等时，求的方程；
（Ⅱ）若与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，当三角形的面积最小时，求的方程.
19.(本小题满分12分) 如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已
知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
(Ⅰ)以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的
圆的标准方程；
(Ⅱ)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆
通过隧道的限制高度是多少？
(第19题图)
20.(本小题满分12分) 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分
别为和的中点，D为棱上的点，．
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当为何值时，面与面
所成的二面角的正弦值最小?
(第20题图)
21.(本小题满分12分)已知两个定点,，动点满足，设动点的轨迹为曲线
，直线.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线,，切点为，，探究：直线是
否过定点 QUOTE 若有，请求出定点，否则说明理由．
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,过椭圆
右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知,为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.
2021学年第一学期湖州市三贤联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
13. 14. 15. 16.
10.简解1：已知且，点的可行域为三棱锥的表面及其内部.设三棱锥中，则三棱锥中棱.与平面所成的角的正弦值即转化为与平面所成的角的正弦值.取的中点，则，过作交的延长线于点.
点即点在平面内的投影，且点落在外部.所以当点取点时，取到最大值.此时，，，，进一步解得.
简解2:由上面分析可知，当点取点时，取到的最大值，如图建立坐标系，则平面的法向为，，此时.
16.简解：点在以为圆心，1为半径的圆周上()，点在以为圆心，3为半径的圆周上()，当、、三点共线时，线段取到最大值4，此时上的点作的切线，切线长取到最大值为.
17.解析： (1) …………………（3分）
；…………………（5分）
(2)
………（7分）
，所以 ..………………（10分）
18.（1）在两坐标轴上的截距相等，
当直线不经过原点时，设它的方程为，把点代入可得，
故的方程为，即. ……………………………（3分）
当直线过原点时，设它的方程为，把点代入可得，
故的方程为，即. ……………………………………（5分）
综上可得，直线的方程为或.
（2）设直线的方程为，则. ………..（6分）
得，当且仅当时，等号成立，………..（8分）
此时△面积最小，最小值为48.
直线的方程为，即. …………………（10分）
19．(1)由题意，有．
∵所求圆的圆心在轴上，∴设圆的方程为，
∵)都在圆上，
∴解得
∴圆的标准方程是（6分）
(2)设限高为，作，交圆弧于点 (图略)，
则.
将点的横坐标代入圆的方程，得，
得或 (舍去)．
∴．
故车辆通过隧道的限制高度为. （12分）
20.因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直． （需证明后方可建系，否则适当扣分）
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．（2分）
由题设（）．
（1）因为，
所以，
所以．（5分）
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则 （7分）
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．（10分）
所以，此时． （12分）
21.（1）设点，由可得，，
整理可得 ， 所以曲线的轨迹方程为．（5分）
（2）依题意，，则都在以为直径的圆上，
是直线上的动点，
设，则圆的圆心为，且经过坐标原点，
即圆的方程为，
又因为在曲线上，
由 QUOTE 可得，
即直线的方程为，（10分）
由且，
可得，解得.
所以直线是过定点. （12分）
22.把右焦点代入直线，得. （1分）
设，的中点为，则，相减得，即，
即，即.
又，则又，解得，
故椭圆的方程为. （5分）
（2）联立消去，可得，解得或.
故交点为，
所以. （7分）
因为，所以可设直线的方程为，，
因为直线与直线有交点，所以.
联立消去，可得，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，所以.
又，则，（10分）
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以四边形的面积的最大值为. （12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
B
A
C
D
B
ACD
ABD
AC
BD