高考数学二轮专题复习——立体几何篇

这是一份高考数学二轮专题复习——立体几何篇，共17页。试卷主要包含了表面积、体积，外接球、内切球与公式体系，内切球，平行垂直判定，异面直线角度与对角线向量定理等内容，欢迎下载使用。

一．静态立体几何篇
题型一 表面积、体积
【例1】（2022全国一卷）已知正四棱锥的侧棱长为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
B． C． D．
【例2】（2022•乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A．B．C．D．
【例3】（2022全国二卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是
A. B. C. D.
题型二 外接球、内切球与公式体系
外接问题常见于球的计算，而一部分棱锥的外接球的问题，常转化为棱锥外接棱柱的外接球问题或将三棱锥补为长方体，本节就先来探究特殊三棱锥的内外接问题.
一．长方体切割体的外接球
【例4】(张家口期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(biē nà)．如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则（ ）
A．平面 B．为三棱锥的外接球的直径
C．三棱锥的外接球体积为
D．三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等
【例5】(江西模拟)在三棱锥中，底面，，，，是线段上一点，且．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例6】(2023辽宁期末)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）（参考数据：，
A．B．C．D．
二． 三棱柱的切割体的外接球
【例7】(2023莱西市期末)已知球是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
三、切瓜模型(两个平面互相垂直，最大高和最小高问题)
【例8】(驻马店期末)已知平面图形，为矩形，，是以为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将沿着翻折至△，当四棱锥体积的最大值为，此时四棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
四、含二面角的外接球终极公式
【例9】(2023北碚区期末)如图，在四边形中，，，，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．始终有
B．当平面平面时，平面平面
C．当平面平面时，直线与平面成角
D．当二面角的大小为时，三棱锥外接球表面积为
五 内切球
【例10】(2023大武口区三模)正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．
题型三 平行垂直判定
【例11】（2021•浙江）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【例12】（2022•香坊区开学）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有
A．平面 B．C．平面D．平面
【例13】（2023•绍兴期末）在斜三棱柱中，是线段的中点，则下列说法正确的有
A．存在直线平面，使得B．存在直线平面，使得
C．存在直线平面，使得D．存在直线平面，使得
【例14】（2023•桃城区期末）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【例15】（2023•庐江县期末）在正方体中，，，分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是

A．B．平面
C．平面D．与所成的角是
【例16】（2023•新洲区期末）已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是
A． B．平面
C．在圆锥侧面上，点到中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为
题型四 异面直线角度与对角线向量定理
【例17】（2005•浙江）如图所示，、是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将沿DE折起，使二面角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则、的连线与AE所成的角的大小为 ．

【例18】（2015•浙江）如图，三棱锥中，，，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．

【例19】（2009•浙江）如图在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点做，为垂足，设，则的取值范围是 ．
【例20】（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直
【例21】（2016•浙江）如图已知平面四边形，，，,，沿直线AC将翻折成，直线与所成角的余弦值的最大值是 ．

【例22】如图，在正四面体中，是棱上的动点，设，，记与，所成的角分别为，，则（ ）.
A.B.当时， C. D.当时，
三．异面直线两点间距离公式
【例23】（2023•山西期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，则的长为（ ）
A． B．7C．D．9
四．异面直线角度与四面体体积公式
【例24】（2010全国I理12）已知半径为2的球面有A，B，C，D四点，若AB＝CD＝2，则四面体的体积最大值为（ ）.
A.B.C.D.
题型五 线面角、二面角及其二级结论
【例25】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点.记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【例26】(2019·浙江卷)设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点(不含端点).记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
【例27】如图，在正方体中，为的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为__________.
【例28】（2018浙江）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）.
A.B.C.D.
【例29】如图，在四棱锥中，已知底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点）.若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）.
A.B.C.D.
二．动态立体几何篇
题型一：特殊的几何体的定值结论
【例30】在三棱锥中，，并且，，又是底面内一点，则到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 ．
【例31】(2023浦东新区校级模拟)三棱锥中，侧棱、、两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是2、3、6，那么 ．
【例32】（2023广东模拟）直棱柱中，，E分别是，的中点，.则下列判断正确的是
A.面 B. C. D.二面角的平面角的正弦值为
【例33】(2023岳麓区模拟)如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.则下列判断正确的是
A.面 B.异面直线与所成角的余弦值为
C. D.二面角的平面角的正弦值为
【例34】(2023武汉期末)如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.，，，则下列判断正确的是
平面平面；
PC上存在一点D,PB上存在一点E,对于DE上任意一点F,都有PC⊥AF
二面角为60°
二面角的余弦值为
【例35】(2023浙江模拟)如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，.则下列判断正确的是
面BDE⊥面PAC B.
二面角的正弦值为 D.求二面角的正弦值为
【例36】(2023广州模拟)如图，在四面体中，平面.，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且,二面角的大小为，则下列判断正确的是
A.平面 B.二面角的大小为 C. D.体积为 D.

题型二 共线的动态距离与体积
【例37】（2023•舟山期末）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是（ ）
A．B．C．D．
【例38】（2023•张家口期末）如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为

A．B．C．D．3
【例39】（2022春•鼓楼区校级月考）在四棱锥中，底面为梯形，且，．下列说法正确的是
A．当时，平面
B．当，平面时，直线与平面所成的角小于异面直线和所成的角
C．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
D．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
【例40】（2023•黄浦区月考）在棱长为1的正方体—中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，则下列命题中正确的是
A.与是异面直线
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，
D．当时，过、、三点的平面截正方体所得截面的周长为
【例41】（2022•云岩区一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为
A．B．C．D．
【例42】（2023•白山一模）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，在堑堵中，是的中点，，若平面过点，且与平行，则
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C．当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D．当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
题型三 折叠动态的不变性与最值
我们在解决翻折问题时, 通常可以利用图形中的不变关系和反证法进行处理; 也可以借助投影讲空间立体 进行平面化处理;部分问题也可以通过三余弦定理解决。
【例43】(2023浙江月考)如图，在三棱锥中，，，，，分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ）
A．B．，C．D．
【例44】(2023襄州区校级月考)如图，已知在中，，，，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【例45】（2023•河南月考）如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，现将沿着对角线翻折，则直线与平面所成角的正切值最大值为
A．B．C．D．
【例46】（2023•鼓楼区月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A．平面B．异面直线与所成的角为定值
C．设菱形边长为，，当二面角为时，棱锥的外接球表面积为
D．若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是
题型四 动态截面问题
【例47】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面中心的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是()
A.B.C.D.
【例48】(2020•新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．

【例49】(2018•新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【例50】(2023肇东市模拟)如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，，分别在，上，且，，过，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是（ ）
①与面所成角的正切值为；②平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形；③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为；④平面截直四棱柱所得截面的面积为．

A．1B．2C．3D．4
【例51】(2023吉林模拟)我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【例52】已知正三棱柱 底面边长是 10 , 高是 12 , 过底面一边 AB，作与底面 ABC 成 60∘ 角的截面, 则其面积是 ．
【例53】（2023•衡水模拟）在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面△面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例54】（2023•阜阳期末）如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，其中，，则
A.存在，使得平面平面B．存在，，使得平面平面
C．对任意，，的最小值为
D．当时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为
题型五 动态产生圆锥曲线轨迹
基本轨迹
【例55】（1）如图AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）.
A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线
（2）已知斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）.
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支
（3） 已知正四面体，空间一动点满足，且的面积为定值，则点的轨迹为（ ）.
A.直线B.圆C.圆D.抛物线
(4)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为正方形对角线的交点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）.若直线与直线所成的角为，则点形成的轨迹为（ ）.
A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分D.圆的一部分
(5)设m是平面内的一条定直线，P是平面外的一个定点，动直线n经过点P且与成角，则直线与平面的交点的轨迹是（ ）.
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
【例56】（2022•日照三模）如图，二面角的平面角的大小为，，是上的两个定点，且，，，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于 ．
【例57】（2023•临汾模拟）如图，三棱锥中，，，，点在侧面内，且点到直线的距离为4，则点到平面距离的最小值为 ．
【例58】（2023•仓山区期末）已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则（ ）
A．四面体的外接球的半径为 B．与所成的角
C．线段的最大值是 D．若，则点轨迹的长度为
【例59】（2023•广东期末）已知正方体的边长为2，为正方体内（包括边界）上的一点，且满足，则下列说正确的有
A．若为面内一点，则点的轨迹长度为
B．过作面使得，若，则的轨迹为椭圆的一部分
C．若，分别为，的中点，与面，则的轨迹为双曲线的一部分
D．若，分别为，的中点，与面所成角为，则的范围为
【例60】（2023•安徽期末）已知长方体中，，，点是四边形内（包含边界）的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则
A．点的轨迹为一条抛物线 B．线段长的最小值为3
C．直线与直线所成角的最大值为D．三棱锥体积的最大值为