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新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用综合篇课件
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这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用综合篇课件，共36页。
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔② a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔③ a1b1+a2b2+a3b3=0 ;(3)|a|= = ;(4)cs= =④ .3.与空间向量有关的问题(1)空间直角坐标系(i)一般建立右手直角坐标系;(ii)建立的空间直角坐标系必须满足三坐标
轴两两垂直,让尽可能多的点落到坐标轴上或第一卦限(第一卦限内点的
2.与空间向量运算有关的结论
坐标都为正).(2)直线的方向向量和平面的法向量(i)直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量可以有无数个.(ii)平面的法向量:a.一个平面的法向量是与平面垂直的直线的方向向量,因此一个平面的法 向量有无数个,其中任意两个都是共线向量,但零向量不能作为平面的法 向量.b.平面法向量的求法:首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解.具体的步骤为:设平面的法向量为n=(x,y,z),找出(求出)平面内的两个不
共线的向量a,b,根据法向量的定义得 由此可建立关于x、y、z的方程组,解方程组,并取其中的一组解,该组解可作为法向量的坐标.4.利用空间向量解决平行、垂直问题设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R且k≠0;(2)l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;(3)α∥β⇔u∥v⇔u=λv,λ∈R且λ≠0;(4)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(5)l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R且k≠0;(6)α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.
考点二 用向量法求空间角与距离1.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,θ为l1、 l2所成的角,则cs θ=|cs|= .(2)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向
量,θ为l与α所成的角,则sin θ=⑤ |cs|= .(3)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=
或θ=π-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cs=
.
2.点到平面的距离公式P为平面α外一点,a、n分别为平面α过P点的斜向量、法向量,d为P到α的 距离,则d=|a|·|cs|= .注意 线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离
公式求解.3.两点间的距离公式:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为|
|=⑥ .
拓展延伸 1.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是 这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.三余弦公式:cs θ=cs θ1·cs θ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成 的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面 内的直线AC的夹角).
考法一 求直线与平面所成角的方法
例1 (2018浙江,19,15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直 于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
则A(0,0, ),B( ,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),∴ =( ,0,- ), =(0,-2,0), =(0,-1,- ). (11分)设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).
则 取m=(1,- , ), (13分)设CD与平面ABD所成的角为α,则sin α=|cs< ,m>|= = = .故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分)解法二:在△ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs 60°=7,∴BD= ,∵DE=1,∴BE= ,AE= ,∴AB2=BE2+AE2,∴AE⊥BE. (9分)
设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为α,∵VA-BCD=VC-ABD,即 CD·S△ABE= h·S△ABD, (11分)∴h= = = , (13分)∴sin α= = ,故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分)
解析 (1)证明:如图,取AE的中点O,BC的中点F,连接OP,OF,PF,则OF∥AB,∴OF⊥BC.∵PB=PC,∴PF⊥BC.又OF∩PF=F,∴BC⊥平面POF,则BC⊥PO.∵E为DC的中点,AB=2AD=4,∴PA=PE,则PO⊥AE.∵AE,BC是平面ABCE内的相交直线,∴PO⊥平面ABCE,又PO⊂平面PAE.∴平面PAE⊥平面ABCE.
(2)在平面ABCE内,过点O作OM⊥OF,则以O为原点,以OM,OF,OP所在直 线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题设知,A(1,-1,0),P(0,0, ),B(1,3,0),C(-1,3,0),
∴ =(1,3,- ), =(-1,3,- ),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由 得, x=0,取z= ,则y= ,∴平面PBC的一个法向量为n= .设直线AP与平面PBC所成角为θ,∵ =(-1,1, ),∴sin θ=|cs|=
= = ,即直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 .
考法二 求二面角的方法
例2 (2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,19)已知在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD^平面 PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO^平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为 ?若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.
由 得 令z=1,则m=( ,0,1),易知n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为θ,所以cs θ= = = .所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 .解法二(定义法):连接OF,OG,由于E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点,所 以EF∥CD,又知CD∥OG,因此平面EFG也就是平面EFOG,平面EFG与平 面ABCD所成锐二面角为二面角E-OG-D,因为CD⊥平面PAD,OF⊂平面
方法总结 求二面角的平面角的方法1.向量法:利用公式cs= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角平面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图
形进行判断.2.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂
直于棱的射线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.3.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的
交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平
面角.4.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面
所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性 质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为二面角α-l-β 的平面角.
例 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, =λ , =λ ,且0<λ<1.(1)求证:A1F⊥平面C1DE;(2)当△BEF的面积取得最大值时,求λ的值,并求出此时二面角B1-EF-D的 余弦值.
解析 依题意,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 立如图所示的空间直角坐标系, 因为正方体的棱长为2,且 =λ , =λ (0<λ<1),则D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,2λ,0),F(2-2λ,2,0).(1)证明:因为 =(-2λ,2,-2), =(2,2λ-2,-2), =(0,2,2),
得 令a=2,得平面B1EF的一个法向量为m=(2,2,-1),显然底面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角B1-EF-D的平面角为θ,由题意知θ为钝角,因为cs= =- ,所以cs θ=- ,即二面角B1-EF-D的余弦值为- .
解后反思 二面角的求解一般可直接利用空间向量求解,将二面角转化 为二面角的两个面的法向量的夹角,但要注意两个平面的法向量的夹角 与所求二面角之间的关系,转化这两者之间的关系时,要先根据几何体或 空间图形的结构特征判断二面角的取值范围,然后下结论.
则 即 令y=1,则x=1,z= ,所以n=(1,1, ).又平面ABF的一个法向量为v=(1,0,0),则cs= = .由图可知二面角C-BF-A的平面角为锐角,所以二面角C-BF-A的余弦值为 .(3)线段CE上不存在点G,使得AG⊥平面BCF,理由如下:解法一:设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1),
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔② a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔③ a1b1+a2b2+a3b3=0 ;(3)|a|= = ;(4)cs
2.与空间向量运算有关的结论
坐标都为正).(2)直线的方向向量和平面的法向量(i)直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量可以有无数个.(ii)平面的法向量:a.一个平面的法向量是与平面垂直的直线的方向向量,因此一个平面的法 向量有无数个,其中任意两个都是共线向量,但零向量不能作为平面的法 向量.b.平面法向量的求法:首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解.具体的步骤为:设平面的法向量为n=(x,y,z),找出(求出)平面内的两个不
共线的向量a,b,根据法向量的定义得 由此可建立关于x、y、z的方程组,解方程组,并取其中的一组解,该组解可作为法向量的坐标.4.利用空间向量解决平行、垂直问题设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R且k≠0;(2)l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;(3)α∥β⇔u∥v⇔u=λv,λ∈R且λ≠0;(4)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(5)l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R且k≠0;(6)α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.
考点二 用向量法求空间角与距离1.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,θ为l1、 l2所成的角,则cs θ=|cs
2.点到平面的距离公式P为平面α外一点,a、n分别为平面α过P点的斜向量、法向量,d为P到α的 距离,则d=|a|·|cs
拓展延伸 1.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是 这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.三余弦公式:cs θ=cs θ1·cs θ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成 的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面 内的直线AC的夹角).
考法一 求直线与平面所成角的方法
例1 (2018浙江,19,15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直 于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
则A(0,0, ),B( ,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),∴ =( ,0,- ), =(0,-2,0), =(0,-1,- ). (11分)设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).
则 取m=(1,- , ), (13分)设CD与平面ABD所成的角为α,则sin α=|cs< ,m>|= = = .故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分)解法二:在△ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs 60°=7,∴BD= ,∵DE=1,∴BE= ,AE= ,∴AB2=BE2+AE2,∴AE⊥BE. (9分)
设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为α,∵VA-BCD=VC-ABD,即 CD·S△ABE= h·S△ABD, (11分)∴h= = = , (13分)∴sin α= = ,故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分)
解析 (1)证明:如图,取AE的中点O,BC的中点F,连接OP,OF,PF,则OF∥AB,∴OF⊥BC.∵PB=PC,∴PF⊥BC.又OF∩PF=F,∴BC⊥平面POF,则BC⊥PO.∵E为DC的中点,AB=2AD=4,∴PA=PE,则PO⊥AE.∵AE,BC是平面ABCE内的相交直线,∴PO⊥平面ABCE,又PO⊂平面PAE.∴平面PAE⊥平面ABCE.
(2)在平面ABCE内,过点O作OM⊥OF,则以O为原点,以OM,OF,OP所在直 线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题设知,A(1,-1,0),P(0,0, ),B(1,3,0),C(-1,3,0),
∴ =(1,3,- ), =(-1,3,- ),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由 得, x=0,取z= ,则y= ,∴平面PBC的一个法向量为n= .设直线AP与平面PBC所成角为θ,∵ =(-1,1, ),∴sin θ=|cs
= = ,即直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 .
考法二 求二面角的方法
例2 (2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,19)已知在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD^平面 PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO^平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为 ?若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.
由 得 令z=1,则m=( ,0,1),易知n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为θ,所以cs θ= = = .所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 .解法二(定义法):连接OF,OG,由于E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点,所 以EF∥CD,又知CD∥OG,因此平面EFG也就是平面EFOG,平面EFG与平 面ABCD所成锐二面角为二面角E-OG-D,因为CD⊥平面PAD,OF⊂平面
方法总结 求二面角的平面角的方法1.向量法:利用公式cs
所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性 质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为二面角α-l-β 的平面角.
例 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, =λ , =λ ,且0<λ<1.(1)求证:A1F⊥平面C1DE;(2)当△BEF的面积取得最大值时,求λ的值,并求出此时二面角B1-EF-D的 余弦值.
解析 依题意,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 立如图所示的空间直角坐标系, 因为正方体的棱长为2,且 =λ , =λ (0<λ<1),则D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,2λ,0),F(2-2λ,2,0).(1)证明:因为 =(-2λ,2,-2), =(2,2λ-2,-2), =(0,2,2),
得 令a=2,得平面B1EF的一个法向量为m=(2,2,-1),显然底面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角B1-EF-D的平面角为θ,由题意知θ为钝角,因为cs
解后反思 二面角的求解一般可直接利用空间向量求解,将二面角转化 为二面角的两个面的法向量的夹角,但要注意两个平面的法向量的夹角 与所求二面角之间的关系,转化这两者之间的关系时,要先根据几何体或 空间图形的结构特征判断二面角的取值范围,然后下结论.
则 即 令y=1,则x=1,z= ,所以n=(1,1, ).又平面ABF的一个法向量为v=(1,0,0),则cs
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