高中数学高考专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)（解析版）

这是一份高中数学高考专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)（解析版），共35页。
2020年高考数学压轴必刷题
专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)

1．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；
当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，
令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，
∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．
当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，
令h（x），则h′（x），
当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，
∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，
∴a≤h（x）e，
综上a的取值范围是[0，e]．
故选：C．
2．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数
∴，
∵log34＞log33＝1，，
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴，
故选：C．
3．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]
【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．
故选：B．
4．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
y′＝x2﹣（a+1）x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；
当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如右图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．
故选：C．

5．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　　　）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：
当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．

6．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　　　）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，
∴，
，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
7．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　　　）
A． B． C． D．0
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，
此时得到的圆心角为，，0，
然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，
因此只有当x，此时旋转，
此时满足一个x只会对应一个y，
因此答案就选：B．
故选：B．
8．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　　　）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x，y，z．
∴3y，2x，5z．
∵，．
∴lg0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x，y，z．
∴1，可得2x＞3y，
1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
9．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　　　）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴1093，
故选：D．
10．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　　　）
A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，
由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；
由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，
则a①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，
即为﹣（x）a≤x，
即有﹣（x）≤a，
由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；
由yx22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．
则﹣2a≤2②
由①②可得，a≤2．
另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|
当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，
由2x﹣1，可得x，
切点为（，）代入ya，解得a；
当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，
由1，可得x＝2（﹣2舍去），
切点为（2，3），代入ya，解得a＝2．
由图象平移可得，a≤2．
故选：A．

11．【2016年新课标2理科12】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）＝（　　　　）
A．0 B．m C．2m D．4m
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）＝2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y，即y＝1的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，
…
则有（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
＝m．
故选：B．
12．【2016年上海理科18】设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）．g（x），h（x）．
②∵f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）＝f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）＝h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）﹣h（x）＝g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）＝g（x+T），h（x）＝h（x+T），同理可得：f（x）＝f（x+T），因此②正确．
故选：D．
13．【2016年天津理科08】已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　　　）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【解答】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x，
则△＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，
解得a或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故选：C．

14．【2015年新课标2理科10】如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：当0≤x时，BP＝tanx，AP，
此时f（x）tanx，0≤x，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，x且x时，
如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tanx＝﹣tan∠POQ，
∴OQ，
∴PD＝AO﹣OQ＝1，PC＝BO+OQ＝1，
∴PA+PB，
当x时，PA+PB＝2，
当P在AD边上运动时，x≤π，PA+PBtanx，
由对称性可知函数f（x）关于x对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．

15．【2015年浙江理科07】存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　　　）
A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x
C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|
【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；
取x，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；
∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；
B．取x＝0，则f（0）＝0；
取x＝π，则f（0）＝π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；
令t2﹣1＝x，则t＝±；
∴；
即存在函数f（x），对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
16．【2015年北京理科07】如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（　　　　）

A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选：C．

17．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　　　）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；
对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．
故选：C．
18．【2015年天津理科07】已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；
∴mx＝0；
∴m＝0；
∴f（x）＝2|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）；
∵0＜log23＜log25；
∴c＜a＜b．
故选：C．
19．【2015年天津理科08】已知函数f（x），函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），
∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，
设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．
即h（x），
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x）2，
当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x）2，
故当b时，h（x）＝b，有两个交点，
当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，
由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）＝b恰有4个根，
则满足b＜2，
故选：D．

20．【2014年上海理科18】设f（x），若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）＝a2，
由题意得：a2≤xa，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D．
21．【2013年新课标1理科11】已知函数f（x），若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，

由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，
求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]
故选：D．
22．【2013年天津理科08】已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（　　　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：取a时，f（x）x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x）|x|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得x＜0；
（2）0≤x时，解得0；
（3）x时，解得，
综上知，a时，A＝（，），符合题意，排除B、D；
取a＝1时，f（x）＝x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a＝1，A＝∅，不合题意，排除C，
故选：A．
23．【2011年新课标1理科12】函数y的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解：函数y1，
y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），
作出两个函数的图象，如图，
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，）和（，）上是减函数；
在（，）和（，4）上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，
且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，
且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：xA+xH＝xB+xG＝xC+xF＝xD+xE＝2，
故所求的横坐标之和为8．
故选：A．

24．【2011年北京理科08】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（　　　　）
A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}
【解答】解：当t＝0时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），
符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）＝9，故选项D不正确．
当t＝1时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），
同理知N（t）＝12，故选项A不正确．
当t＝2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），
同理知N（t）＝11，故选项B不正确．

故选：C．
25．【2011年天津理科08】对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵，
∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣x2），
由图可知，当c∈
函数f（x） 与y＝c的图象有两个公共点，
∴c的取值范围是 ，
故选：B．

26．【2010年新课标1理科11】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab＝1，
则abc＝c∈（10，12）．
故选：C．

27．【2010年上海理科17】若x0是方程的解，则x0属于区间（　　　　）
A．（，1） B．（，） C．（，） D．（0，）
【解答】解：∵，，
∴x0属于区间（，）．
故选：C．
28．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是　　．
【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，

由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；
要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，
则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，
由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），
∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，
∴k．
即k的取值范围为[，）．
故答案为：[，）．
29．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是　　　　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　　　　．
【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝　　　　．
【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：1，
解得：2p+q＝a2pq，
由于：2p+q＝36pq，
所以：a2＝36，
由于a＞0，
故：a＝6．
故答案为：6
31．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　　　　．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，
得x2+ax+a＝0，
得a（x+1）＝﹣x2，
得a，
设g（x），则g′（x），
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，
当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，
得x2﹣ax+2a＝0，
得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，
当x≠2时，a
设h（x），则h′（x），
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，
要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，
则由图象知4＜a＜8，
故答案为：（4，8）

32．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是　　　　．
【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；
故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；
即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，
故答案为：8
33．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是　　　　．
【解答】解：若x≤0，则x，
则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，
此时x≤0，
当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，
当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，
当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，
此时f（x）+f（x）＞1恒成立，
综上x，
故答案为：（，+∞）．
34．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|xa|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是　　　　．
【解答】解：由题可知|xa|+a≤5，即|xa|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|xa|≤5﹣a，
所以a﹣5≤xa≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x5，
又因为1≤x≤4，4≤x5，
所以2a﹣5≤4，解得a，
故答案为：（﹣∞，]．
35．【2016年江苏11】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x），其中a∈R，若f（）＝f（），则f（5a）的值是　　　　．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x），
∴f（）＝f（）a，
f（）＝f（）＝||，
∴a，
∴f（5a）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，
故答案为：
36．【2016年浙江理科12】已知a＞b＞1，若logab+logba，ab＝ba，则a＝　　　　，b＝　　　　．
【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1知t＞1，
代入logab+logba得，
即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t（舍去），
所以logba＝2，即a＝b2，
因为ab＝ba，所以b2b＝ba，则a＝2b＝b2，
解得b＝2，a＝4，
故答案为：4；2．
37．【2015年江苏13】已知函数f（x）＝|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为　　　　．
【解答】解：由|f（x）+g（x）|＝1可得g（x）＝﹣f（x）±1．
g（x）与h（x）＝﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点

g（x）与φ（x）＝﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为4．
故答案为：4．
38．【2015年北京理科14】设函数f（x），
①若a＝1，则f（x）的最小值为　　　　；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　　　．
【解答】解：①当a＝1时，f（x），
当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1，
当1＜x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，
故当x时，f（x）min＝f（）＝﹣1，
②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）＝与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以a＜1，
若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是a＜1，或a≥2．
39．【2014年江苏13】已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　　　　．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知．
故答案为：（0，）．

40．【2014年天津理科14】已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　　　　．
【解答】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，
作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|，
当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由△＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，解得a＝1或a＝9，
当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由△＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，
若x＝1，则4＝0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a||＝|x﹣15|，
设g（x）＝x﹣15，
当x＞1时，g（x）＝x﹣15，当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，
当x＜1时，g（x）＝x﹣155﹣4＝1，当且仅当﹣（x﹣1），即x＝﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）



41．【2013年上海理科12】设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为　　．
【解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
所以当x＝0时，f（x）＝0；
当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x7
因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）＝9x7；
因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
所以当x＝0时，0≥a+1成立，
所以a≤﹣1；
当x＞0时，9x7≥a+1成立，
只需要9x7的最小值≥a+1，
因为9x7≥26|a|﹣7，
所以6|a|﹣7≥a+1，
解得，
所以．
故答案为：．
42．【2013年上海理科14】对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）＝{y|y＝g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））＝[1，2），f﹣1（（2，4]）＝[0，1）．若方程f（x）﹣x＝0有解x0，则x0＝　　．
【解答】解：因为g（I）＝{y|y＝g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））＝[1，2），f﹣1（2，4]）＝[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解；
所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解，
又因为方程f（x）﹣x＝0有解x0，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x0）＝x0，只有x0＝2，
故答案为：2．
43．【2012年江苏10】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）其中a，b∈R．若，则a+3b的值为　　　　．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x），
∴f（）＝f（）＝1a，f（）；又，
∴1a①
又f（﹣1）＝f（1），
∴2a+b＝0，②
由①②解得a＝2，b＝﹣4；
∴a+3b＝﹣10．
故答案为：﹣10．
44．【2012年江苏13】已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　　　　．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即△＝a2﹣4b＝0，则4b＝a2
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x2+ax+b＜c解集为（m，m+6），
则x2+ax+b﹣c＝0的两个根x1，x2分别为m，m+6
∴两根之差为|x1﹣x2|＝|m+6﹣m|＝6
根据韦达定理可知：
x1+x2a
x1x2b﹣c
∵|x1﹣x2|＝6
∴6
∴6
∴6
解得c＝9
故答案为：9
45．【2012年北京理科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是　　　　．
【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．

46．【2012年天津理科14】已知函数y的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　　　　．
【解答】解：y，
作出函数y与y＝kx﹣2的图象如图所示：
∵函数y的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，
∴0＜k＜1或1＜k＜4．
故答案为：（0，1）∪（1，4）．

47．【2011年江苏11】已知实数a≠0，函数f（x），若f（1﹣a）＝f（1+a），则a的值为　　　　．
【解答】解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1
∴2（1﹣a）+a＝﹣1﹣a﹣2a解得a舍去
当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1
∴﹣1+a﹣2a＝2+2a+a解得a
故答案为
48．【2011年上海理科13】设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）＝x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为　　　　．
【解答】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）＝g（x+1）
又∵函数f（x）＝x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]
令x+6＝t，当x∈[3，4]时，t＝x+6∈[9，10]
此时，f（t）＝t+g（t）＝（x+6）+g（x+6）＝（x+6）+g（x）＝[x+g（x）]+6
所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11]…（1）
同理，令x﹣13＝t，在当x∈[3，4]时，t＝x﹣13∈[﹣10，﹣9]
此时，f（t）＝t+g（t）＝（x﹣13）+g（x﹣13）＝（x﹣13）+g（x）＝[x+g（x）]﹣13
所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8]…（2）
…
由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]
故答案为：[﹣15，11]
法二：由题意f（x）﹣x＝g（x） 在R上成立
故 f（x+1）﹣（x+1）＝g（x+1）
所以f（x+1）﹣f（x）＝1
由此知自变量增大1，函数值也增大1
故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]
故答案为：[﹣15，11]
49．【2010年江苏11】已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　　　　．
【解答】解：由题意，可得
故答案为：
50．【2010年天津理科16】设函数f（x）＝x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是　　　　．
【解答】解：依据题意得1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，
即4m21在x∈[，+∞）上恒成立．
当x时，函数y1取得最小值，
∴4m2，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，
解得m或m，
故答案为：．