考向04函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向04  函数及其表示

1. 【2022年北京卷第11题】 函数的定义域是_________．

【答案】

【解析】因为，所以，解得且，

故函数的定义域为；故答案为：

2. 【2022年浙江卷第14题】已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】由已知，，所以，

当时，由可得，所以，

当时，由可得，所以，

等价于，所以，

所以的最大值为.故答案为：，.

1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．

2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．

易错点1：函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．

易错点2：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)

A．(2，＋∞)　　　　 B．(1，2)      C．(0，2)      D．[1，2]

2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)

A．(0，3)     B．[1，3)∪(3，8]   C．[1，3)     D．[0，3)

3.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]    B．(0，＋∞)   C．(－1，0)      D．(－∞，0)

4.已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．

5．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．

6．已知函数f(x)＝若＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．

一、单选题

1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（       ）

A．若函数的定义域为，则的定义域为

B．若正三角形的边长为，则

C．已知函数，则函数的零点为

D．“”是“”的既不充分也不必要条件

2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（       ）

①   ②   ③   ④

A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①

3．（2021·上海杨浦·一模）已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（       ）

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确

C．①､②都正确 D．①､②都错误

4．（2021·陕西宝鸡·三模（文））切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差对任意的，函数的最大值为E，即，把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为（       ）

A． B．1 C． D．

二、多选题

5．（2021·重庆·三模）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（       ）

A．的值域为

B．当时，

C．图象的对称轴为直线

D．方程恰有5个实数解

6．（2022·山东威海·三模）已知函数，则（       ）

A．当时，函数的定义域为

B．当时，函数的值域为

C．当时，函数在上单调递减

D．当时，关于x的方程有两个解

【答案】BCD

三、填空题

7．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知，函数，若，则 ________.

8．（2022·甘肃·二模（文））函数其中常数，且，若，则实数___________.

9．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））若函数同时满足：（i）为偶函数；（ii）对任意且，总有；（iii）定义域为，值域为，则称函数具有性质，现有个函数：①，②，③，④，其中具有性质的是___________（填上所有满足条件的序号）.

10．（2022·北京·一模）已知函数若，则不等式的解集为________.

1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学案）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是

A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝

2.(2014山东)函数的定义域为（  ）

A．    B．   C．  D．

3.(2013广东)函数的定义域是（   ）

A．   B．     C．     D．

4．2015新课标2，理5）设函数,(     )

A．3     B．6       C．9     D．12

5.(2015新课标1，文10)已知函数，且，则

A．       B．       C．         D．

6.(2014浙江)已知函数，且，则

A．      B．      C．      D．

7（2015新课标2，文13）已知函数的图象过点，则       ．

8．（2020北京11）函数的定义域是__________．

9.（2019江苏4）函数的定义域是     .

10.(2018江苏)函数的定义域为    ．

11.（2014卷1，文15）设函数则使得成立的的取值范围是________.

12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则满足的的取值范围是         ．

1．【答案】B

【解析】选B.要使函数有意义，则解得1<x<2.

所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．

2．【答案】D

【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数的定义域为[0，3)．

3.【答案】D

【解析】方法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，

解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．

④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.

方法二：因为f(x)＝

所以函数f(x)的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.

此时x≤－1.

当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.

综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D.

4.【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)

【解析】　(1)方法一(换元法)：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，

所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.

因为＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

5．【答案】f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

【解析】方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，

所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

答案：x2－5x＋9(x∈R)

6．【答案】－5，－6.

【解析】由题意得，f＝3×＋1＝3，所以＝f(3)＝9＋3a＝－6，

所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.

一、单选题

1．【答案】D

【解析】对于A选项，若函数的定义域为，

对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，A错；

对于B选项，若正三角形的边长为，则，B错；

对于C选项，已知函数，令，解得，

所以，函数的零点为，C错；

对于D选项，若，则、无意义，即“”“”；

若，可取，，则，即“”“”.

因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，D对.

故选：D.

2．【答案】A

【解析】，的定义域为，，的定义域为

在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②

当时，则

，令，则

在上单调递增，在上单调递减，则

①对应的为第三个函数

故选：A．

3．【答案】B

【解析】在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：

由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；

令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；故选：B

4．【答案】C

【解析】当时，令，则，

所以，而的最大值必然在端点处取得，

故，

当得时，的最大值为，此时使E取得最小值时，当得时，的最大值为，而，综上，.故选：C.

二、多选题

5．【答案】ABD

【解析】根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；

根据周期为，当时，，故B正确.

故选：ABD.

6．【答案】BCD

【解析】A. 当时，，由，解得或，所以函数的定义域为，故错误；

B.当时，，定义域为R，当时，，当时，，所以函数的值域为，故正确；

C.当时，，当时，，在上递减，当时，，在上递减，又，所以函数在上单调递减，故正确；

D. 易知，，即为，设，则，即，若方程有两个解则，故正确.故选：BCD

三、填空题

7．【答案】

【解析】由已知可得，

故.故答案为：.

8．【答案】

【解析】由题意，，

，

即，因为，，

所以，所以，

故.

故答案为：

9．【答案】① ③

【解析】对于④，，，故函数为奇函数，不合题意；

由（ii）可知在上单调递增，

对于②，，在上是减函数，故不合题意；

对于①，是偶函数，

在上是增函数，定义域为，，

，具有性质；

对于③，该函数为偶函数，令，

可得函数在上是增函数，，

均满足题干中的三点要求，故具有性质；

故答案为：①③

10．【答案】         

【解析】当时，则不等式可转化为或

解得或，所以，则不等式的解集为；

1．【答案】D

【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．

2.【答案】C

【解析】，解得．

3.【答案】C

【解析】由题知，∴，故选C，

4．【答案】C  

【解析】1.由已知得，又，所以，故，故选C．

5.【答案】A

【解析】∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，∴=，故选A．

6.【答案】C

【解析】由已知得，解得，又，所以，故选C.

7．【答案】-2

【解析】由题意可知在函数图象上，即，∴．

8．【答案】    

【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．

9. 【答案】

【解析】①根据题意，函数， 若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立.又，所以. 
②函数，导数.
若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a≤0，即a的取值范围为.

10.【答案】

【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．

11.【答案】.

【解析】原不等式等价于或，解得，故的取值范围是.

12．【答案】

【解析】法一：因为

当时，；

当时，；

当时，由，可解得

综上可知满足的的取值范围是．

法二：，，即

由图象变换可画出与的图象如下：

由图可知，满足的解为．

法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．

【考点】分段函数；分类讨论的思想

【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．