浙江省杭州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学Word版含解析

    2022学年第一学期期末学业水平测试

高一数学试题卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据补集的知识求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

2. 若，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】由不等式性质知时，成立，充分性满足，

但时满足，不满足，不必要．

因此应为充分不必要条件．

故选：A．

3. 已知，，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据角的范围，确定的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.

【详解】因为，所以.

又，所以.

故选：D.

4. 函数的定义域为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.

【详解】解：函数的定义域满足，解得，

故函数定义域为.

故选：C.

5. 三个数的大小关系是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数、对数的知识求得正确答案.

【详解】，

由于，所以

，

所以.

故选：B

6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（）

A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.

【详解】设天平左臂长，右臂长，且，

设草莓有，草莓有千克，

所以，

所以.

故选：C

7. 函数，若，则的大小关系是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据零点的存在性定理可得，求出，进而得，，利用作差法可得，即可求解.

详解】令，解得或，

即函数的零点为和a，又，

由零点的存在性定理，得，

，

所以，，

又，得，

所以.

故选：A.

8. 定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据定义判断在上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为.进而根据函数的单调性，即可列出不等式，求解不等式即可得出答案.

【详解】，且.

则，

因为，，所以，所以，

所以，

所以，所以在上单调递增.

又，所以为奇函数.

又时，有，

所以，时，有.

由可得，

.

因为，

所以由可得，，

整理可得，即，

显然，所以有，解得.

所以，不等式的解集为.

故选：D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中正确的是（）

A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1

B. 若是第二象限角，则是第一象限角

C. ，

D. 命题：，的否定是：，

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意求出扇形的面积，即可判断A项；由第二象限角的范围得出的范围，即可判断B项；由可得C项正确；写出全称量词命题的否定，即可判断D项.

【详解】对于A项，由已知可得，扇形面积，故A项错误；

对于B项，由已知可得，，

所以，.

当为偶数时，设，则，，则为第一象限角；

当为奇数时，设，则，，则为第三象限角.

综上所述，是第一象限角或第三象限角，故B错误；

对于C项，因为在R上恒成立，故C项正确；

对于D项，命题：，的否定是：，，故D项正确.

故选：CD.

10. 已知函数，则（）

A. 的值域为

B. 点是函数图象的一个对称中心

C. 在区间上是增函数

D. 若在区间上是增函数，则的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】由辅助公式得，

根据正弦函数的值域判断A；

用代入法验证B；

由可得，根据正弦函数的单调区间判断C；

由正弦函数在上单调递增，可得在上单调递增，从而判断D.

【详解】解：因为，

所以函数的值域为，故A正确；

又因为，

所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；

当时，，由正弦函数的性质可知函数在不单调，故C错误；

由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，

所以由，可得，

即函数在上单调递增，

又因为在区间上是增函数，所以，

即的最大值为，故D正确.

故选：ABD.

11. 已知函数的零点分别为，则有（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.

【详解】在上递增，，所以.

在上递增，，所以.

在上递增，，所以，则，AB选项正确.

由得；

由得；

由解得，

由于与关于直线对称，与相互垂直，

所以，C选项正确，D选项错误.

故选： ABC

12. 已知和都是定义在上的函数，则（）

A. 若，则的图象关于点中心对称

B. 函数与的图象关于轴对称

C. 若，则函数是周期函数，其中一个周期

D. 若方程有实数解，则不可能是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案.

【详解】A选项，由，得，

设，则，

所以是奇函数，图象关于对称，

所以根据函数图象变换的知识可知的图象关于点中心对称，A选项正确.

B选项，与的图象关于轴对称，

所以与的图象关于直线对称，B选项错误.

C选项，，所以是周期函数，

其中一个周期，C选项正确.

D选项，设是方程的一个解，则，

所以，所以，

令，则，即方程有解，

当时，方程无解，所以D选项正确.

故选：ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若函数，则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据解析式可得，再求即可.

【详解】由题意知，

，，

所以.

故答案为：2.

14. 写出一个定义域为值域为的函数_______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为，值域为函数容易联想到定义域为，值域为三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案.

【详解】令，则易知其定义域为，而由得，即的值域为，故满足题意.

显然也满足题意，即答案不唯一，这里以为代表.

故答案为：.

15. 若是偶函数，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性求得，从而求得正确答案.

【详解】依题意，是偶函数，

所以，

，

，

所以，而，所以，

所以.

故答案为：

16. 在平面直角坐标系中，半径为1的圆与轴相切于原点，圆上有一定点，坐标是．假设圆以（单位长度）/秒的速度沿轴正方向匀速滚动，那么当圆滚动秒时，点的横坐标__________．（用表示）

【答案】

【解析】

【分析】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，易求匀速运动部分的横坐标；顺时针转动部分，先求出P的角速度，再求出横坐标即可.

【详解】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.

匀速运动部分：与圆的速度相等，，得；

顺时针转动部分：以圆心为参照系，P点的运动为半径不变的顺时针转动，

初始P与圆心的连线与x轴的夹角为，

当P转动的角度时，圆向前滚动了个圆周，即长度，

此时过了秒，故P在秒内转动的角度，

所以P每秒转动角度，横坐标为，

所以t秒后P转动角度，横坐标为，

综上，P运动的横坐标为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 求解下列问题：

（1）求值：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案.

（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

18. 在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴．若点在角的终边上，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．

（1）直接写出与的关系式；

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意即可得到角与的关系.

（2）首先根据题意得到，，再利用二倍角和两角和余弦公式求解即可.

【小问1详解】

由题意可得；

【小问2详解】

∵，∴，，

∴，.

∵，

∴.

19. 已知函数．

（1）用定义证明在区间上是减函数；

（2）设，求函数的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

【分析】(1)直接利用定义法即可证明函数在上是减函数；

(2)利用换元法可得()，结合对勾函数的性质即可求解.

【小问1详解】

，且，

，

又，得，

所以，即，

所以函数在上是减函数；

【小问2详解】

由，得，

令，则，

可转化为，

由(1)知，

函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，且最小值为5，

即函数的最小值为5.

20. 已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称．

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据最值可求，根据周期可求，根据对称可得，即可求解解析式，

（2）根据平移和诱导公式得，进而根据整体法即可求解单调区间.

【小问1详解】

有题意可知,所以，又，此时，

由的图象关于直线对称可知，所以，

由于，故取，则，

故

【小问2详解】

将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数，

令,解得，

故的单调递减区间为

21. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．

【答案】（1）

（2）0.6

【解析】

分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；

（2）利用指数函数的单调性解不等式．

【小问1详解】

解：依题意，当时，可设，且，

解得

又由，解得，

所以；

【小问2详解】

解：令，即，

得，解得，

即至少需要经过后，学生才能回到教室．

22. 已知函数，，其中且．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）代入，分为以及两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；

（2）求出.根据，分离参数可得.换元求出，即可得出或，即可求出的范围.

【小问1详解】

当时，不等式可化为，

当时，得，解得；

当时，得，解得.

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

【小问2详解】

由题意可得，函数.

令，

因为，所以，则有，

故.

令，则.

因为在上单调递减，在上单调递增.

所以，当时，有最小值，

又，，

所以当时，有最大值.

所以，即

又，所以或.

即或，

解得的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：已知函数在区间上有零点，求参数范围.推出，可分离参数得出，然后只需求出函数在上的值域，即可得出参数范围.