2022-2023学年浙江省杭州市八县区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省杭州市八县区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的知识求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】由不等式性质知时，成立，充分性满足，

但时满足，不满足，不必要．

因此应为充分不必要条件．

故选：A．

3．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角的范围，确定的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.

【详解】因为，所以.

又，所以.

故选：D.

4．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.

【详解】解：函数的定义域满足，解得，

故函数定义域为.

故选：C.

5．三个数的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数、对数的知识求得正确答案.

【详解】，

由于，所以

，

所以.

故选：B

6．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（    ）

A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定

【答案】C

【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.

【详解】设天平左臂长，右臂长，且，

设草莓有，草莓有千克，

所以，

所以.

故选：C

7．函数，若，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据零点的存在性定理可得，求出，进而得，，利用作差法可得，即可求解.

【详解】令，解得或，

即函数的零点为和a，又，

由零点的存在性定理，得，

，

所以，，

又，得，

所以.

故选：A.

8．定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据定义判断在上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为.进而根据函数的单调性，即可列出不等式，求解不等式即可得出答案.

【详解】，且.

则，

因为，，所以，所以，

所以，

所以，所以在上单调递增.

又，所以为奇函数.

又时，有，

所以，时，有.

由可得，

.

因为，

所以由可得，，

整理可得，即，

显然，所以有，解得.

所以，不等式的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1

B．若是第二象限角，则是第一象限角

C．，

D．命题：，的否定是：，

【答案】CD

【分析】根据题意求出扇形的面积，即可判断A项；由第二象限角的范围得出的范围，即可判断B项；由可得C项正确；写出全称量词命题的否定，即可判断D项.

【详解】对于A项，由已知可得，扇形面积，故A项错误；

对于B项，由已知可得，，

所以，.

当为偶数时，设，则，，则为第一象限角；

当为奇数时，设，则，，则为第三象限角.

综上所述，是第一象限角或第三象限角，故B错误；

对于C项，因为在R上恒成立，故C项正确；

对于D项，命题：，的否定是：，，故D项正确.

故选：CD.

10．已知函数，则（    ）

A．的值域为

B．点是函数图象的一个对称中心

C．在区间上是增函数

D．若在区间上是增函数，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】由辅助公式得，

根据正弦函数的值域判断A；

用代入法验证B；

由可得，根据正弦函数的单调区间判断C；

由正弦函数在上单调递增，可得在上单调递增，从而判断D.

【详解】解：因为，

所以函数的值域为，故A正确；

又因为，

所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；

当时，，由正弦函数的性质可知函数在不单调，故C错误；

由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，

所以由，可得，

即函数在上单调递增，

又因为在区间上是增函数，所以，

即的最大值为，故D正确.

故选：ABD.

11．已知函数的零点分别为，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.

【详解】在上递增，，所以.

在上递增，，所以.

在上递增，，所以，则，AB选项正确.

由得；

由得；

由解得，

由于与关于直线对称，与相互垂直，

所以，C选项正确，D选项错误.

故选： ABC

12．已知和都是定义在上的函数，则（    ）

A．若，则的图象关于点中心对称

B．函数与的图象关于轴对称

C．若，则函数是周期函数，其中一个周期

D．若方程有实数解，则不可能是

【答案】ACD

【分析】根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案.

【详解】A选项，由，得，

设，则，

所以是奇函数，图象关于对称，

所以根据函数图象变换的知识可知的图象关于点中心对称，A选项正确.

B选项，与的图象关于轴对称，

所以与的图象关于直线对称，B选项错误.

C选项，，所以是周期函数，

其中一个周期，C选项正确.

D选项，设是方程的一个解，则，

所以，所以，

令，则，即方程有解，

当时，方程无解，所以D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若函数，则__________．

【答案】2

【分析】根据解析式可得，再求即可.

【详解】由题意知，

，，

所以.

故答案为：2.

14．写出一个定义域为值域为的函数_______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为，值域为的函数容易联想到定义域为，值域为三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案.

【详解】令，则易知其定义域为，而由得，即的值域为，故满足题意.

显然也满足题意，即答案不唯一，这里以为代表.

故答案为：.

15．若是偶函数，则__________．

【答案】##

【分析】根据函数的奇偶性求得，从而求得正确答案.

【详解】依题意，是偶函数，

所以，

，

，

所以，而，所以，

所以.

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，半径为1的圆与轴相切于原点，圆上有一定点，坐标是．假设圆以（单位长度）/秒的速度沿轴正方向匀速滚动，那么当圆滚动秒时，点的横坐标__________．（用表示）

【答案】

【分析】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，易求匀速运动部分的横坐标；顺时针转动部分，先求出P的角速度，再求出横坐标即可.

【详解】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.

匀速运动部分：与圆的速度相等，，得；

顺时针转动部分：以圆心为参照系，P点的运动为半径不变的顺时针转动，

初始P与圆心的连线与x轴的夹角为，

当P转动的角度时，圆向前滚动了个圆周，即长度，

此时过了秒，故P在秒内转动的角度，

所以P每秒转动角度，横坐标为，

所以t秒后P转动角度，横坐标为，

综上，P运动的横坐标为.

故答案为：.

四、解答题

17．求解下列问题：

(1)求值：；

(2)已知，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案.

（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴．若点在角的终边上，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．

(1)直接写出与的关系式；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意即可得到角与的关系.

（2）首先根据题意得到，，再利用二倍角和两角和余弦公式求解即可.

【详解】（1）由题意可得；

（2）∵，∴，，

∴，.

∵，

∴.

19．已知函数．

(1)用定义证明在区间上是减函数；

(2)设，求函数的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)5.

【分析】(1)直接利用定义法即可证明函数在上是减函数；

(2)利用换元法可得()，结合对勾函数的性质即可求解.

【详解】（1），且，

，

又，得，

所以，即，

所以函数在上是减函数；

（2）由，得，

令，则，

可转化为，

由(1)知，

函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，且最小值为5，

即函数的最小值为5.

20．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称．

(1)求的解析式；

(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据最值可求，根据周期可求，根据对称可得，即可求解解析式，

（2）根据平移和诱导公式得，进而根据整体法即可求解单调区间.

【详解】（1）有题意可知,所以，又，此时，

由的图象关于直线对称可知，所以，

由于，故取，则，

故

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数，

令,解得，

故的单调递减区间为

21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．

【答案】(1)

(2)0.6

【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；

（2）利用指数函数的单调性解不等式．

【详解】（1）解：依题意，当时，可设，且，

解得

又由，解得，

所以；

（2）解：令，即，

得，解得，

即至少需要经过后，学生才能回到教室．

22．已知函数，，其中且．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）代入，分为以及两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；

（2）求出.根据，分离参数可得.换元求出，即可得出或，即可求出的范围.

【详解】（1）当时，不等式可化为，

当时，得，解得；

当时，得，解得.

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

（2）由题意可得，函数.

令，

因为，所以，则有，

故.

令，则.

因为在上单调递减，在上单调递增.

所以，当时，有最小值，

又，，

所以当时，有最大值.

所以，即.

又，所以或.

即或，

解得的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：已知函数在区间上有零点，求参数范围.推出，可分离参数得出，然后只需求出函数在上的值域，即可得出参数范围.