高中数学高考考点45 导数与函数的极值、最值-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点45导数与函数的极值、最值【命题解读】   利用导数研究函数的极值、最值是高考必考的重点知识点，已经是解决函数、不等式等问题的主要工具，在高考中常以各种题型出现，对于函数问题中含参问题的研究是高考出现频率较高的，试题难度比较大.【命题预测】预计2021年的高考利用导数研究函数的极值、最值出题形式以新颖为主，灵活性较强，与函数、不等式等联系比较密切，难度以高档为主。【复习建议】  1.利用导数研究函数极值、最值；2.体会导数与函数极值、最值的关系。考向一　利用导数研究函数的极值1.函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值. 2.函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.1. 【2020重庆期末】若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（    ）.A．函数有1个极大值，2个极小值B．函数有2个极大值，3个极小值C．函数有3个极大值，2个极小值D．函数有4个极大值，3个极小值【答案】B【解析】只有一个极大值点．当时，，当时，．当时，，时，，时，，且，，，，，函数在，处取得极大值．，，处取得极小值．故选：B．2. 【2018广东湛江期末】函数有极值的充分但不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以要使函数有极值，则需，解得，又由可推得，而由不能推得，所以函数有极值的充分但不必要条件是，故选：A．考向二  利用导数研究函数的最值1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值. 1. 【2020河北保定一模】已知函数在处取得最大值，则下列选项正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，而，令，则在上单调递减，且，使，从而在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，，.故选：A2. 【2019浙江金华高三期末】设的最大值为，则（      ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AB【解析】对于选项A，当时，在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，，则，在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB. 题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A．  B．C．  D．2. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．3. 【2019年高考北京理数】已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．4. 【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．5. 【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．6. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．题组二1. 【2020全国月考（理）】函数的图象大致是(    )A． B．C． D．2. 【2020云南师大附中月考（理）】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3. 【2020霍邱县第二中学开学考试】已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)4. 【2020江西省信丰中学月考】设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（    ）A． B． C． D．5. 【2019湖南师大附中期末】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．6. 【2020北京期末】已知函数，则在区间上的最小值为_________. 7. 【2020江西省奉新县第一中学月考（理）】若函数在区间上是减函数，则的最大值为_______________8. 【2020全国高三】已知函数给出下列结论：①在上有最小值，无最大值；②设则为偶函数；③在上有两个零点.其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）9. 【2020福建其他】设函数．（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．10. 【2020湖北荆门月考】已知函数，.（1）设的导函数为，求的最小值；（2）设，当时，若恒成立，求的取值范围.题组一1.C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.故选C.2.见解析【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.3. 见解析【解析】（Ⅰ）由得.令，即，得或.又，，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.（Ⅱ）令.由得.令得或.的情况如下：    所以的最小值为，最大值为.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.4. 见解析【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下： +0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．5. 见解析【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．当变化时，的变化情况如下表：1-0+↘极小值↗所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．（Ⅱ）证明：由，得．对任意的，且，令，则．        ①令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．因为，，所以，．        ②由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，故．        ③由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．6.  见解析【解析】的定义域为，．（1）当时，，，曲线在点处的切线方程为，即．直线在轴，轴上的截距分别为，．因此所求三角形的面积为．（2）当时，．当时，，．当时，；当时，．所以当时，取得最小值，最小值为，从而．当时，．综上，的取值范围是．题组二1.B【解析】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.2.D【解析】要使函数有两个极值点，求导得，则转化为有两个不同的实根，即和在上有两个交点，令，∴．记，在上单调递减，且，所以当时，，，所以在上单调递增；当时，，，所以在上单调递减，故．当时，；当时，，所以，当，即时，和在上有两个交点，故选D．3.B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．4. A【解析】∵，∴，∵是函数的极大值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，有极小值，且极小值为．故选A．5. 【解析】 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根． 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去．
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，此时函数单调递增；
令 ，解得 ，此时函数单调递减．
∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根，
则，解得．
∴实数 的取值范围是.6. 【解析】：由于，∴∵，得到或 ∴在上是增函数，在上是增函数，而，∴在上是减函数；可知的最小值在或处取得，又，∴在区间上的最小值为.故答案为：.7. 【解析】 因为函数在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，所以，即，即，令，，则，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.8. ①③【解析】①，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意，由于，所以不是偶函数，故②错误.③，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故③正确.故答案为：①③.9. 见解析【解析】（1），依题意有，故．经检验满足题意．，的定义域为，，当时，；当时，；当时，．所以在区间单调递增，在区间单调递减．（2）的定义域为，．方程的判别式．若，即，在的定义域内，故无极值．若，则或．当，，，当时，，当时，，所以无极值．当，，，也无极值．若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，可知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．由可得，则，，所以的极值之和为．10. 见解析【解析】（1）∵，所以在上单调递减；在上单调递增所以的最小值为（2）当时，若成立，即对恒成立，亦即对恒成立.即，由（1）知时的最小值为，所以在上单调递增.∴在上恒成立.令，则.①时，在上恒成立，∴，此时满足已知条件，②当时，由，解得.当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增.∴的最小值，解得.综上，的取值范围是.