高中数学高考考点52 离散型随机变量及其分布列-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点52离散型随机变量及其分布列【命题解读】   离散型随机变量及其分布列是近几年高考常考知识点，出题上多与实际想联系，重点在与考查分析问题和计算问题的能力，多与其它知识相结合，要求比较高，出题方向上选择、填空或解答都有可能涉及。【命题预测】预计2021年的高考对于离散型随机变量及其分布列的考查对分析题目的能力要求会更高，对计算能力的考查难度不减，出题以解答题为主。【复习建议】  1.理解离散型随机变量的概念及其分布列性质；2.掌握常见的离散型随机变量分布列的求解。考向一　离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则以表格的形式表示如下: Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn 将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①  pi≥0(i=1，2，…，n); ②  pi=1. 1. 【2020四川仁寿县仁寿一中高三月考（理）】已知随机变量的分布列为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】随机变量的分布列为，可得，解得，所以故选：A2. 【2020吉林吉林市高二期末（理）】随机变量X的分布列如下，的值为（    ）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】随机变量X的分布列知：，．故选C.考向二  常见离散型随机变量的分布列1.两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1-pp其中p= P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即X01…mP…其中m= min{M,n}，且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.1. 【2019黄梅国际育才高级中学高二月考】已知随机变量的分布列为（    ）01 若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A2. 【2020北京高二期末】某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，；当时，，则，故选：C.3. 【2020广东海丰县高二月考】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以故选：C 题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．2. 【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．3. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．题组二1. 【2020广东禅城区佛山一中高二期中】若随机变量的分布列如下表：-2-101230.10.20.20.30.10.1则当时，实数的取值范围是A． B．C． D．2. 【2020青海西宁市高二期末（理）】已知的分布列为1234Pm设，则（    ）A． B． C． D．3. 【2020浙江省柯桥中学高三开学考试】已知实数，，成等差数列，随机变量X的分布列是：012当增大时（    ）A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大4. 【2020常州市新桥高级中学高二期中】下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（  ）X3459PA． B． C． D．5. 【2020陕西临渭区高二期末（理）】离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（    ）01A． B． C．或 D．以上都不对6. 【2020江苏鼓楼区南京师大附中高二期末】某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ）A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村 7. 【2020全国高三专题练习（理）】已知离散型随机变量的分布列如下：01234若的数学期望等于，则__________．8. 【2020全国高三专题练习】设随机变量的分布列（其中），则___．9. 【2020重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.题组一1.见解析【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知．2.见解析【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X的所有可能值为0，1，2．记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C，D相互独立，且．所以，，．所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望．（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3. 见解析【解析】（1）X的所有可能取值为．，，，所以的分布列为（2）（i）由（1）得．因此，故，即．又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列．（ii）由（i）可得．由于，故，所以．表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．题组二1.C【解析】因为，所以实数的取值范围为选C.2.C【解析】由分布列的性质可得：，解得所以因为，所以故选：C3.B【解析】因为实数，，成等差数列，所以，又由分布列的性质可得，所以，，所以，所以.所以当增大时，减小.故选：B.4. C【解析】，解得.故选：C5.B【解析】由题可知：故选：B6.B【解析】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，故，所以，，，，.故选：B7. 【解析】由题意得：，，解得：.故答案为：.8. 【解析】依题意，解得.故填9. 见解析【解析】（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在的天数为2天，所以估计空气质量指数在的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴，，，∴X的分布列为X012P∴.②甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，∴.