2022-2023学年江西省临川第一中学高三上学期期末考试理科数学试卷PDF版含答案

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答案和解析
【答案】
13. 123 14. −1243 15. ９π． 16. a≤e24或a=e39
17. 解：(I)设{an+1−an}的公比为q，
∵an+2=3an+1−2an，an+2−an+1=2(an+1−an)
又a2−a1=1，∴an+1−an=2n−1，
∴an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=1+1+2+⋯+2n−2=1+1−2n−11−2=2n−1，
即{an}的通项公式为an=2n−1．分
(Ⅱ)bn=n∙an=∙n∙2n−1=n∙2n−1
{bn}的前n项和为1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1
记Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1，
则2Sn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，
作差可得−Sn＝20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n，
∴Sn=(n−1)2n+1，
因此，数列bn的前n项和为(n−1)2n+分
18. 解：(1)因为G为线段AC的中点，且BG=12AC，
所以AB⊥BC，
因为AB=8，BC=6，
所以AC=10，
因为A1B1//AB，B1C1//BC，
所以A1B1⊥B1C1，
因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，
所以AA1⊥B1C1，
因为AA1∩A1B1=A1，AA1，A1B1⊂平面A1ABB1，
所以B1C1⊥平面A1ABB1，分
因为VF−A1AE=VE−A1AF=13SΔA1AF⋅(12B1C1)=16×(12S矩形A1ABB1)⋅B1C1
=112AA1⋅AB⋅BC=16VABC−A1B1C1=40，解得AA1=10，
而S△A1AE=12×10×82+32=573，
设点F到平面A1AE的距离为ℎ，
由VF−A1AE=13S△A1AE⋅ℎ，得ℎ=247373，
即点F到平面A1AE的距离为ℎ=247373；分
(2)由(1)知：A1A=10，
以点B为坐标原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(8,0,0)，C(0,6,0)，A1(8,0,10)，B1(0,0,10)，F(0,0,5)，
BA1=(8,0,10)，AC=(−8,6,0)，AA1=(0,0,10)，
设BP=λBA1(0≤λ≤1)，P(x0,y0,z0)，
由(x0,y0,z0)=λ(8,0,10)，得P(8λ,0,10λ)，
所以FP=(8λ,0,10λ−5)，
设平面A1ACC1的一个法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=0n⋅AA1=0，即6y−8x=0z=0，取x=3，得n=(3,4,0)，分
设直线FP与平面A1ACC1所成角为θ，
则sinθ=|n⋅FP||n||FP|=24λ564λ2+(10λ−5)2
=24λ5164λ2−100λ+25=245164−100λ+25λ2=24525(1λ−2)2+64
当λ=12，即P为BA1的中点时，sinθ取得最大值35．分
19. (1)P=1−C62C102=1−1545=23，
即该顾客中奖的概率为23．分
(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，60．分
且P(X=0)=C62C102=13，分
P(X=10)=C31C61C102=25，分
P(X=20)=C32C102=115，分
P(X=50)=C11C61C102=215，分
P(X=60)=C11C31C102=115．分
故X的概率分布列为：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
分
解：(1)取抛物线焦点为F(p2,0)，AF=x1+p2，BF=x2+p2，AF+BF=x1+x2+p=6+p
因为AF+BF≥AB，AB最大值为10，所以6+p=10，p=4，抛物线方程为y2=分
（2）令A(x1,y1),B(x2,y2),设M为AB中点，M(x0,y0),
又因为x1+x2=6,所以x0=3，M(3,y0),分
.kAB=y2−y1x2−x1=8y1+y2=4y0，所以AB中垂线方程为：y−y0=−y04(x−3),令y=0C(7,0)分
所以AB方程为：y−y0=4y0(x−3),将AB方程与抛物线方程联立y−y0=4y0(x−3)y2=8xy2−2y0y+2y02−24=0,显然，∆=4y02−42y02−24>0−26.y1+y2=2y0，y1∙y2=2y02−分
.AB=x2−x12+y2−y12=1+y042y2−y12=1+y0216y2+y12−4y1y2=1+y02164y02−42y02−24=1216+y0224−y02,分
.C(7,0)到AB的距离为d=16+y02,S∆ABC=12AB∙d=1416+y02224−y02=14216+y0216+y0248−2y02≤14216+16+4833=40930
所以S∆ABC的最大值为分
21.设公切点为(x0,y0)，则y0=ex0+x02−x0=x02−ax0−b,b=(1−a)x0−ex0
.f(x)=ex+2x−1,g(x)=2x−a
因为f(1)=g(1)且f(1)=g(1)
即e+2−1=2−a，a=1−e,b=分
因为f(b)−f(a)≥g(b)−g(a)
.∴eb+b2−b−(ea+a2−a)≥(b2−ab−b)−(a2−a2−b)
即eb−ea+(b−a)(a−1)≥分
令H(b)=eb−ea+(b−a)(a−1),H(b)=eb+a−1
因为H(a)=0
所以a是H(b)的最小值点
且a是H(b)的极值点
.H(a)=ea+a−1=0
因为H(a)在R上单调递增，
所以H(0)=0
所以a=分
下面检验：当a=0时，H(b)=eb−b−1
.H(b)=eb−1
.H(b)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增.
.H(b)≥H(0)=0
符合题意
所以a=分
22. 解：直线l的普通方程为圆C的普通方程为
将代入 得，
2３. 解：证明：
由
，
，，，，
，
，
，，，
，
当且仅当，即，时，取等号，
的最小值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
A
B
D
D
C
D
D
Ｂ
Ｃ
C
X
0
20
50
60
P
13
115
215
115