浙江省嵊州市谷来镇中学2022-2023学年九年级上学期期中测试数学试卷（含答案）

浙江省嵊州市谷来镇中学2022-2023学年九年级上学期期中测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线y＝2（x+1）2﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）

2．不透明的袋子中装有2个红球，6个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球是红球的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　)

A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定

4．要得到抛物线，可以将抛物线（    ）

A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度．

5．育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数据：

则a的值最有可能是（    ）A．2700 B．2780 C．2880 D．2940

6．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1

7．如图，是的直径，弦于点，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（    ）

A．无实数根 B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根

9．在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（     ）

A． B． C．或 D．或

10．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是___________．

12．在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在___________（填“内”、“上”或“外”）．

13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．

14．当___________时，函数有最___________值，是___________．

15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则 AD 的长为_．

16．若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围是__________．

三、解答题

17．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

18．四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）的牌面如图l，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜．请问这个游戏规则公平吗？并说明理由．

19．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．

（1）求⊙O的半径；     

（2）若点P是AB上的一动点，试直接写出线段OP的取值范围．

20．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

21．（11·漳州）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝60°．

（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；

（2）求证：OC∥BD．

22．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．

（1）求a的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．

(1)求点的坐标；

(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；

(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．

【详解】因为y＝2（x+1）2﹣1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣1），故选B．

【点睛】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．

2．C

【分析】根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.

【详解】因为有2个红球，6个白球，

所以共有8个球，红球有2个，

所以，取出红球的概率为，

故选：C．

【点睛】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键．

3．B

【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,

∵d=OA=3,∴d<r，

∴点A在圆内，

故选：B．

4．A

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

【详解】∵的顶点坐标为（-2，3），的顶点坐标为（0，0），

∴将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．

5．C

【分析】计算每组小麦的发芽率，根据结果计算．

【详解】解：∵

∴=2880，

故选：C．

【点睛】此题考查了数据的频率估计概率，正确掌握频率公式计算频率是解题的关键．

6．D

【详解】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.

故选D

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.

7．C

【分析】根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度．

【详解】解：∵弦于点E，cm，

∴cm．

在中，cm，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法．

8．D

【分析】利用函数图象平移即可求解．

【详解】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到，

而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，

故与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，

故有两个同号不相等的实数根，

故选：D．

【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握图像的平移是解题的关键．

9．C

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形．

【详解】解：由题意可知：半径r=1，弦长为，

根据勾股定理的逆定理可知：（）2=12+12，

∴长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，

∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．

故选C．

【点睛】本题考查圆弧、弦之间的关系，解题关键是熟练掌握、运用勾股定理的逆定理、分类讨论的思想．

10．D

【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案．

【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．

11．

【分析】根据二次函数的图象开口向下，得出二次项系数小于0，即可求解．

【详解】二次函数的图象开口向下，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

12．外

【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，

，即，

即点A到圆心的距离大于圆的半径，

点A在外．

故答案为：外．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则．

13．

【分析】用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可．

【详解】解：∵有1000张奖券，设一等奖5个，二等奖15个，

∴一张奖券中奖概率为，

故只抽1张奖券恰好中奖的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

14．     2     小     2

【分析】先根据二次函数顶点式求出二次函数最小值，进而判断出函数的最小值．

【详解】解：∵，

∴，

∴有最小值，当且仅当时，最小值为4，

∴当且仅当时，函数有最小值，最小值为2，

故答案为：2，小，2．

【点睛】本题考查二次函数的最值，关键是再转化为二次根式来解题．

15．

【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据垂径定理可得AD=2AE，然后根据勾股定理即可求出AB，然后根据锐角三角函数即可求出结论．

【详解】解：过点C作CE⊥AD于点E

∴AD=2AE

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=

∵cos∠A=

即

解得：AE=

∴AD=2AE=

故答案为：．

【点睛】此题考查的是垂径定理、勾股定理和锐角三角函数，掌握垂径定理、勾股定理和锐角三角函数是解决此题的关键．

16．         

【分析】作出和的图象，根据图象性质即可求出．

【详解】①作出和的图象，如图所示

观察图形即可看出，当直线过（3，0）时，与函数的图象只有一个交点，所以答案为（3,0）；

②联立，

消去y后可得：，

令，可得，

，

即m=时，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，

当直线过点（-1，0）时，此时m=1，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，直线y=x+m与函数y=|2-2x-3的图象有四个公共点时，m的范围为：；

故答案为：①；②．

【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点问题，正确作出函数图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．

17．（1）；（2）

【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．

【详解】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，

所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式．

18．不公平．

【分析】先利用树状图展示所有有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，再根据概率公式求出P（小亮获胜）和P（小明获胜），然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性．

【详解】解：此游戏规则不公平．理由如下：画树状图得：

共有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，

所以P(小亮获胜)=；P(小明获胜)=，

因为＞，

所以这个游戏规则不公平．

【点睛】本题考查了游戏的公平性，根据题意画出树状图求出概率是解题的关键，

19．（1）⊙O的半径为5；（2）3≤PO≤5．

【分析】（1）作OC⊥AB于点C，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；（2）最长等于半径，最小等于弦心距．

【详解】（1）作OC⊥AB于点C，

∵圆心O到AB的距离为3，

∴OC=3

∵OC⊥AB，∴AC=AB

∵AB=8，∴AC=4

∴OA==5  

答：⊙O的半径为5；

（2）3≤PO≤5．

【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

20．当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米

【分析】（1）作半径，并交于，连接，则即为弓形高，根据垂径定理得，然后根据已知条件求出的长；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于，可得米，然后根据与在圆心同侧或异侧时两种情况解答．

【详解】

解：（1）作半径，垂足为点，连接，则即为弓形的高，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴米，即此时的水深为0.1米．

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于点

同理可得，当与在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当在在圆心异侧时水面上升的高度为0.7米．

∴综上所述，当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米．

【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．

21．（1）是等边三角形，理由见解析；（2）见解析

【分析】（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60°；然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA=OC，从而证得△AOC是等边三角形；

（2）证法一：利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD；

证法二：通过证明同位角∠1=∠B，推知OC∥BD．

【详解】解：（1）△AOC是等边三角形

证明：如图∵，

∴∠1=∠COD=60°，        

∵OA=OC（⊙O的半径相等），

∴△AOC是等边三角形；   

（2）证法一：∵，

∴OC⊥AD，               

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，

∴OC∥BD．

证法二：∵，

∴，

又∠B=∠AOD，

∴∠1=∠B，            

∴OC∥BD．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，垂径定理，圆周角定理，利用弧相等则圆心角相等是关键．

22．（1）；（2）

【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；

（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．

【详解】解：（1）．

∵图象的对称轴为直线，

∴，

∴．

（2）∵，

∴二次函数的表达式为，

∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，

∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．

23．（1）y＝﹣5x+500；（2）当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．

【分析】（1）直接利用销售单价每降2元，则每月可多销售10条得出y与x的函数关系式；

（2）利用销量×每件利润=总利润可得出函数关系式，再利用二次函数的性质求出最值即可；

（3）利用总利润=4175+200，求出x的值，进而得出答案．

【详解】解：（1）由题意可得：

y＝100+×10

＝100+5(80﹣x)

＝﹣5x+500，

∴y与x的函数关系式为；y＝﹣5x+500；

（2）由题意得：

w＝(x﹣40)(﹣5x+500)

＝﹣5x2+700x﹣20000

＝﹣5(x﹣70)2+4500，

∵a＝﹣5＜0，

∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元，

∴应降价80﹣70＝10（元），

∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；

（3）由题意得：﹣5(x﹣70)2+4500＝4175+200，

解得：x1＝65，x2＝75，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，

∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，

而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．

∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，正确建立函数模型、结合实际选择最优方案及正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．

24．(1)

(2)

(3)存在，点的坐标为：或或

【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；

（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有，

当取最大值时，三角形面积为最大值．证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；

（3）分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可．

【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上，

∴，

∴，

即抛物线解析式为：，

当时，有，

∴点的坐标为；

（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图：

∵，

∴，，

∴，

当取最大值时，三角形面积为最大值．

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵轴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴当最大时，最大，

设直线解析式为，

将、代入，

得：，

∴，

∴直线解析式为，

设，，则，

∴，

∵，

∴当时，最大为，

∴此时最大为，

∴ 面积的最大值：，

即面积最大值为：；

（3）存在．

∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

设点N的坐标为，点M的坐标为

分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，

∵、，

∴，即，

解得，.

∴，

∴点M的坐标为

②当为平行四边形的对角线时，如图，

方法同①可得，，

∴，

∴点M的坐标为；

③当AC为平行四边形的对角线时，如图，

∵、，

∴线段的中点H的坐标为，即H，

∴，解得，，

∴，

∴点M的坐标为，

综上，点的坐标为：或或．

【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．