浙江省嵊州市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份浙江省嵊州市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省嵊州市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，是锐角，则的度数为（    ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为，由此可以推算出约为（    ）
A．7 B．3 C．10 D．6
5．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ）

A． B． C． D．
7．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（    ）

A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（    ）．

A． B． C． D．
9．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结AC，CP，记的面积为，的面积为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

二、填空题
11．图中的两个三角形是否相似，______（填“是”或“否”）.

12．如图是刚刚结束的2022年第22届卡塔尔世界杯发行的官方纪念币，它们分别是①世界杯会徽，②世界杯口号，③大力神杯，④吉祥物，⑤多哈塔尔塔，⑥阿尔拜特体育场，⑦卡塔尔地图，⑧卢赛尔体育场．现有8张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有世界杯会徽，世界杯口号，大力神杯，吉祥物，多哈塔尔塔，阿尔拜特体育场，卡塔尔地图，卢赛尔体育场种不同的图案，背面完全相同．现将这8张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是世界杯会徽图案的概率是______．

13．如图，在由相同的菱形组成的网格中，，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接，，的值为______.

14．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为______.

15．二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为______.
16．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为______.


三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知线段c是线段a，b的比例中项，若，，求线段c的长．
18．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．

(1)从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是______．
(2)从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）．
19．如图1是嵊州市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，智能化按键式开启投放门的投放方式，让嵊州人民的垃圾投放变得更智能更环保，图2是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板长45cm，挡板底部距地面高为125cm，挡板开启后的最大张角为，求投放门前端C离开的最大距离及投放门前端C距地面的最大距离（参考数据：，，，结果精确到1cm）

20．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且．

(1)求证：．
(2)若，点为的中点，求的半径．
21．在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
22．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图


说明
图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
，，，；
任务1：探寻边角
填空：______，______；
任务2：比较面积
计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践
若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______．


23．设二次函数（，是常数）的图像与轴交于，两点.
(1)若，两点的坐标分别为，，求该二次函数的表达式.
(2)若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值.
(3)设一次函数（是常数），若二次函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值.
24．如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足.

(1)若点是的中点，求的长和的值.
(2)若是等腰三角形，求的长.
(3)若，点是射线上的点，满足，直接写出的长.

参考答案：
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵，且是锐角，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．D
【分析】设，，代入所求式子中化简求解即可．
【详解】解：由设，，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查比例性质、分式求值，根据比例性质巧妙设未知数求解是解答的关键．
3．B
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要是圆周角定理的运用．关键是根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解．
4．C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
故可以推算出约为．
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．
5．C
【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2．
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查比较二次函数函数值的大小，解题的关键是求出二次函数图象的对称轴．
6．B
【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断．
【详解】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，

故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
7．A
【分析】根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
8．B
【分析】如图：过D作，垂足为E.先求出、，再由勾股定理可得、，然后由正弦的定义可得，进而得到，最后根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图：过D作，垂足为E

∵
∴
∵
∴,即
∴
∵，
∴
∵在中，，若，
∴
∵
∴，即
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，掌握在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解答本题的关键．
9．D
【分析】连接、，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明，得到，设，则，，利用半径为5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图示，连接，交于F，

∵D是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，∴，
即，
在中，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．C
【分析】求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，作轴，交的延长线于点F，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，证明，利用相似三角形的性质求得，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：和的底分别为和，高为h，
则，
∴求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，
作轴，交的延长线于点F，

设，则点F的纵坐标为，
对于，
令，则，解得，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值为，
∴有最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用二次函数的性质求解是解题的关键．
11．是
【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答．
【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键．
12．##
【分析】根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：共有8个不同的图案，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是世界杯会徽图案的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率的公式是解题的关键．
13．##
【分析】连接，设菱形网格的边长为a，则，证明为等边三角形，为等边三角形，得出，求出，根据勾股定理求出，求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：

设菱形网格的边长为a，则，
∵此图为相同的菱形组成的网格，
∴四边形为菱形，在上，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求一个角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质．
14．
【分析】连接、、，过O作交于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，连接、，则，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
过O作交于H，连接，则，
在中，，
∴，
即到的距离为，
故答案为：．

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解答的关键．
15．或
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
【详解】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．
16．或
【分析】分在上和在延长线上，分情况讨论，根据这个三角形的面积恰好是面积的，列出方程，进行计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴



∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；

②当在的延长线上时，如图

设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴



∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角函数的应用，设参数法是解题的关键．
17．（1）；（2）线段的长为
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值以及零次幂进行计算即可求解；
（2）根据成比例线段的定义得出，代入数据进行计算即可求解．
【详解】解：（1）

；
（2）依题意，，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零次幂，成比例线段，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)
(2)所画的四边形是平行四边形的概率．

【分析】（1）根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从C、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
【详解】（1）解：根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，
所画三角形是等腰三角形的概率；
故答案为：；
（2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：

∵以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
19．投放门前端C离开的最大距离,投放门前端C距地面的最大距离为．
【分析】在中，利用三角函数关系即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
，
∴，
∴投放门前端C离开的最大距离,投放门前端C距地面的最大距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．(1)见解析
(2)的半径为

【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得，再由邻补角互补可得，根据同角的补角相等可得，再根据等边对等角可得，再根据等量代换可得．
（2）连接根据直角所对的弦是直径得出为的直径，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）如图，连接

∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
21．(1)抛物线表达式为；
(2)不能顺利射入球门．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，，，
设抛物线表达式为，
∴，解得，
∴抛物线表达式为；
（2）解：抛物线的对称轴为，
点B到对称轴的距离为，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为，
当时，，
因此，不能顺利射入球门．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，图象的平移，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
22．任务1：15，；任务2：正方形和正方形边长之比为；任务3：
【分析】任务1：作于H，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可；任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解；任务3：同理任务2，分两种情况求解即可．
【详解】解：任务1：探寻边角，
作于H，

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务2：比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，

∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，

∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，

∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理

在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据等式的性质，构造以为函数的二次函数，求函数最值即可；
（3）根据题意得出，将点代入，根据一元二次方程的解即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵函数的表达式可以写成
，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（3）解：∵，，
∴

，
∵函数的图像经过点，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)当或9时，是等腰三角形；
(3)的长为或

【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理得出，再由中点得出；过点F作，，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，，利用勾股定理得出，然后根据正切函数的定义求解即可；
（2）分三种情形：i当点E在线段上时，F在线段上时，ii同理：当点E在射线AB上时，F在线段BD上时，iii当点E在射线上时，F在射线上时，然后再根据等腰三角形各分三种情况分析，利用相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）分两种情况分析：当点E、F在点B左侧时，当点E、F在点B右侧时，分别作出辅助线，利用相似三角形的判定和性质及正切函数求解即可 ．
【详解】（1）解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
当点E为的中点时，
，
∴，
∴；
过点F作，，连接，如图所示：

∴，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i当点E在线段上时，F在线段上时，
设，则，，，且()
①当时，如图所示：

∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：

过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
③当时，过点F作，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：；
ii同理：当点E在射线上时，F在线段上时，
设，则，，，
方法类似：只有当BF=BE时，成立，如图所示：

∴，
解得：；
iii当点E在射线上时，F在射线上时，
设，则，，，，
①当时，如图所示：

∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：

过点F作FG⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，不符合题意；
综上可得：当或9时，是等腰三角形；
（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点下方时，过点B作BG⊥PE，

∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，

同理解得：，故不存在；
当点E、F在点B右侧时，点P在点下方时，过点E作，

∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点E、F在点B右侧时，点P在点上方时，过点E作，
同理解得：，故不存在；

综上可得：的长为或．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，解题关键是理解题意，进行分类分析，综合运用这些知识点．