中考数学二轮培优专题精讲 第13讲 反比例函数与面积 (含详解)

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第13讲 反比例与面积
模型讲解






【例题讲解】
例题1、如图，直线x=k（k>0）与反比例函数y=和y=-一的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接PA、PB，则△PAB的面积是 .

答案：

例题2、如图，经过原点的两条直线l1、l2，分别与双曲线y=（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）.
（1）求k值及B点坐标；
（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积.

答案：(1)把A(3,1)代入y=得k=3×1=3，∵经过原点的直线l1与双曲线y=(k≠0)相交于A、B.∴点A与点B关于原点对称，∴B点坐标为(−3,−1)；
(2)把P(a,3)代入y=得3a=3，解得a=1，∵P点坐标为(1,3)，∵经过原点的直线l2与双曲线y= (k≠0)相交于P、Q点，∴点P与点Q关于原点对称，∴点Q的坐标为(−1,−3)，∵OA=OB，OP=OQ，∴四边形APBQ为平行四边形，∵AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40，∴AB=PQ，∴四边形APBQ为矩形，∵PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(3−1)2+(1−3)2=8，∴PB=,PQ=，∴四边形APBQ的面积=PA⋅PB=×=16.
例题3、如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k>0）在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB的面积为6，求k的值.（代数法与几何法均尝试用一下）

答案：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，∵点C为AB的中点，∴CN为△AMB的中位线，∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，∵OM⋅AM=ON⋅CN，∴OM⋅2b=(OM+a)⋅b∴OM=a，∴S△AOB=3a⋅2b÷2=3ab=6，∴ab=2，∴k=a⋅2b=2ab=4，故答案为：4.

例题4、如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k= 。

答案:


例题5、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB//CD，△ABD与△ACD的面积分别为20和30，若双曲线y=恰好经过BC的中点E，则k的值为 。

答案:6
例题6、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：①S△CEF=S△DEF；②△AOB相似于△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD.其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）

答案：①②④
【巩固练习】
1、已知A是反比例函数y=的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是 .


2、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2= .


3、如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=（k0），y2=（x>0），点P为函数，y2=的图像上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交函数y1=的图像于D、C两点，则△PCD的面积为 。


6、如图，反比例函数y=（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 。


7、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x>0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k的值为 。


8、如图，A是反比例函数y=图像上一点，C是线段OA上一点，且OC：OA=1：3，作CD⊥x轴，垂足为点D，延长DC交反比例函数图像于点B，S△ABC=8，则k的值为 。


9、如图，点A、B在反比例函数y=的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且△AOC的面积为9，则k的值为 。


10、如图，已知四边形ABCO的底边AO在x轴上，BC//AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=交OB于D，且OD:DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值 .


11、如图，两个反比例函数y=和y=-的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为 .

12、如图，已知反比例函数y1=与y2=（k10），过y2图象上任意一点B分别作x轴、y轴的平行线交坐标轴于D、P两点，交y1的图象于A、C，直线AC交坐标轴于点M、N，则S△OMN= .（用含k1、k2的代数式表示）

13、如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=...=An-1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x>0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn-1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn-1An-1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （用含n的代数式表示）

14、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AD∥BC，△ACD与△BCD的面积分别为10和20，若双曲线y=恰好经过边AB的四等分点E（BE0）的图像与一次函数y=x的图像交于A、B两点（点A在第一象限）.
（1）当点A的横坐标为4时。
①求k的值；
②根据反比例函数的图像，直接写出当一4