中考数学二轮培优专题精讲 第1讲 角平分线 (含详解)

这是一份中考数学二轮培优专题精讲 第1讲 角平分线 (含详解)，共12页。试卷主要包含了角平分线的性质定理，证明，5，DG＝2，EG=GF，5∠AOC，∠OAQ＝0等内容，欢迎下载使用。
第1讲 角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分∠ABC，且DCBC理由：角平分线的性质结论：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CDBD理由：等腰三角形三线合一结论：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC  理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形
【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，ACBC，AC =BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是___________.             【分析】要求的值，一般来说不会直接把BF和EF都求出来，所以需要转化，当过点F作FGAB时，即可将转化为，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FGAB于点G∠DAB-90°，FG/AD， =ACBC，∠ACB =90°又BF平分∠ABC，FG =FC在Rt△BGF和Rt△BCF中△BGF≌△BCF（HL），BC =BGAC =BC，∠CBA =45°，AB =BC 例题2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AECE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为________             【分析】有AE平分∠BAC，且AEEC，套用模型2，即可解决该题.
【解答】解：如图，延长CE，AB交于点F.AE平分∠BAC，AEEC∠FAE =∠CAE，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE和△ACE中△AFE ≌ACE（ASA）AF =AC =16，EF =EC，BF =6又D是BC的中点，BD =CDDE是△CBF的中位线DE =BF =3故答案为：3. 例题3、如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________.               【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.E、F分别是AB、AC的中点，EF//BC∠CBM =∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM =∠CBM∠EMB =∠EBM，EB =EMEP +BP =EP +PM =EMCQ =CE，EQ =2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ
【巩固练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM =ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（   ）A.SAS    B.SSS    C.ASA   D.HL        （第1题）   （第3题）      （第4题）2、三角形中到三边距离相等的点是（    ）A、三条边的垂直平分线的交点    B、三条高的交点C、三条中线的交点      D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（    ）A.∠ABC =60°  B.AB:BC =1：4  C.AB:BC =5：2   D.AB:BC =5：84、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（    ）A.    B.    C.3     D.45、如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DEAB于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为      .                   （第5题）     （第6题）       （第7题）6、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为      .7、如图，在△ABC中，点D在BC上，BM平分∠ABD，BMAD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN =      .8、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于F，AB =5，AC =2，则DF的长为         .（第8题）      （第9题）    （第10题）9、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE =      .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为      .11、如图，在O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是      .                 （第11题）              （第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，ADBE，AD =BE =6，则AC的长等于     .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD =8，DB =10，则BC的长是       .（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？   15、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BGCF.              16、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.           （1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；          17、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.              18、如图，BAMN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.            19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.                   20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB//DE，AE/DC，求证：；（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E。若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）
参考答案答案：B答案：D答案：D答案：C答案：5cm答案：22答案：1.5答案：1.5答案：1.5答案：答案：答案：答案：14.解：过点P分别向OA、OB作垂线，S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，FG =MNPH=PE点P在∠AOB的平分线上.15.证明：BD平分∠ABC，∠1 =∠2，DF//BC，∠2 =∠3，∠1=∠3，BF=DF.同理：DE=CE.EF =DFDF,EF =BFCE.16.解:(1)如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M;作CN⊥AD，垂足为N，AC平分∠DAB，CM＝CN又∠ABC +∠ADC＝180°，∠MBC +∠ADC＝180°
   ∠NDC＝∠MBC，在△NDC与△MBC中

BC=DC
(2)如图，延长AB到B，使BB＝ADAB+AD＝AC，∴AB＝AC
由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC与△BBC中
∴△ADC ≌△EBC，故AD＝EC
又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC故△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°;
∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°
即∠BCD＝60°17.解：（1）△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
D是BC的中点
∴BD＝CD
∴BG =AC +AG
BG +(AC +AG)=AB +AC,
∴BG =（AB +AC)=（b+c)
(2)证明:点D.F分别是BC、AB的中点
∴DF＝AC=b，BF=AB=c
又FG＝BGBF =（b+c)-c =b∴DF=FG
∴∠FDG＝∠FGD
点D.E分别是BC、AC的中点，∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF18.解：CD的长度不变
理由如下:
如图，延长CB和PA，记交点为点Q∠BPC ＝∠BPA，BC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性质)BA⊥MN，CD⊥MM∴AB∥CD，
∴△QAB ∽△△QDCAB/CD=QB/QC=1/2
∴CD＝2AB＝2×4＝8即CD＝8; 19.解：(1)存在.
O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2).
∴OA＝BC＝5，BC∥OA，
以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F则∠OEA＝∠OFA＝90°，如图1
作DG⊥EF于G，连DB，则DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF
∴DE==1.5
∴E(1,2),F(4,2),
∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°;
(2)如图2，
 BC＝OA＝5，BC∥OA
∴四边形OABC是平行四边形∴OC∥AB，
∴∠AOC +∠OAB＝180°，
OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°∴∠AQO＝90°，
以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，∴点Q只能是点E或点F，
当Q在F点时，OF、AF分别是∠AOC与OAB的平分线，BC∥OA∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB而OC＝AB，
∴CF＝BF，即F是BC的中点。而F点为(4，2)，
此时m的值为6.5，
当在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5.20.解：（1）如图，过点D作DE//BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2），；，；，；.在△ABE和△DEC中，，，，.（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，BH⊥CD于H，∠BFE＝∠CHE＝90°AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，BE=CE，EF= EH，Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4.BE=CE，∠1=∠2.∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠DCB，四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，四边形ABCD是“准等腰梯形”。当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，∠B＝∠C，四边形ABCD是“准等腰梯形”当点B在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。分两种情况：情况一：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；情况二：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形.