中考数学二轮培优专题精讲 第16讲 代数型坐标转化 (含详解)

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第16讲 代数型坐标转化【例题讲解】例题1  ①点A（a，a＋2）无论a取何值，都在直线l上，则l的直线解析式为______.答案：y＝x＋2.②无论a取什么实数，点P（a－1,2a－3）都在直线l上，若点Q（m，n）是直线l上的点，则2m－n＋3的值是　      　．答案：4.③若点P坐标为（2m，－m2－m－4），点P随着m的变化在某一个函数上运动，则该函数解析式为_________.答案：y＝－－－4.例题2、已知，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（m，），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB＋BC的最小值为　　     ．答案：．【解析】∵点B（m，m），∴点B在y＝m的直线上，如图，作点A关于直线OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交直线OB于B，则CD＝AB＋BC的最小值，∵B（m，m）,∴tan∠BOC＝，∴∠AOB＝30°，∵∠AHO＝90°，∴AH＝OA，∵A（4，0），∴OA＝4，∴AD＝2AH＝4，∴DC＝，∴AB＋BC的最小值＝，故答案为：．例题3  在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，－2）、点B（3m，4m＋1）（m≠－1），点C（6,2），则对角线BD的最小值是　    　    ．答案：6.【解析】如图，∵点B（3m，4m＋1），∴令，∴y＝x＋1，∴B在直线y＝x＋1上，∴当BD⊥直线y＝x＋1时，最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m＋1，∵BE在直线y＝x＋1上，且点E在x轴上，∴E（－，0），G（0,1），∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC中点，∵A（0，－2），点C（6,2），∴F（3,0）在Rt△BEF中，∵BH²＝EH·FH，∴（4m＋1）²＝（3m＋）（3－3m），解得：＝－（舍），＝，∴B（，）∴BD＝2BF＝2×＝6，则对角线BD的最小值是6；故答案为：6．   【巩固练习】1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,2），点M的坐标为（m－1，－m－）（其中m为实数），则PM的最小值为　         　．   2．已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）．（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．
参考答案1.答案：16.2.【解析】（1）存在；（2）m的值为3.5或6.5.（1）存在．∵O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）,∴OA＝BC＝5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OEA＝90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF，∴EG＝＝1.5，∴E（1，2），F（4，2），∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°；（2）如图2，∵BC＝OA＝5，BC∥OA,∴四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠AOC＋∠OAB＝180°，∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝∠AOC，∠OAQ＝∠AOB，∴∠AOQ＋∠OAQ＝90°，∴∠AQO＝90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，∴点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB，而OC＝AB，∴CF＝BF，即F是BC的中点．而F点为（4,2），则＝4，解得m＝6.5，∴此时m的值为6.5，当Q在E点时，同理可得＝1，此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5．