第9讲第2课时《平行四边形的辅助线》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

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第九讲  平行四边形的辅助线［教学内容］八年级第九讲“平行四边形的辅助线”.（第二课时）［教学目标］知识技能掌握平行四边形常用的辅助线的作法.数学思考 在研究图形性质的过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.问题解决通过小组合作交流，培养学生独立思考及团队合作意识，经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法，在与他人合作交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.情感态度积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，感受成功的快乐，体验独自克服困难，解决数学问题的过程，有客服困难的勇气，具备学好数学的信心.[教学重点、难点]重点：平行四边形辅助线的作法难点：平行四边形辅助线的作法[教学准备]动画多媒体语音课件        第二课时教学路径 初步性问题探究类型之二   菱形的辅助线作法例4  如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与BC交于点D,E是AB上一点，且AE=AC, EF∥BC,交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．  师：如何证明四边形CDEF是菱形？生：从条件出发，由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可通过全等证明四边形有一组邻边相等，再证四边形为平行四边形即可.师：还有其他方法吗？生：由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可连接CE，得到FD垂直平分CE，再利用全等证明FD也被平分.师：非常好，我们从两个不同的方向去证明四边形是菱形，同一个条件我们可以从不同的角度去理解，菱形常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连接菱形的对角线. 解析：连接CE（动画在图中作出）交AD于点O，（下一步）（右手将AC，AE描红，然后用手标出∠CAD和∠EAD,然后在∠AOC处标上垂直符号，给CO和OE标上短线，然后出示文字）根据等腰三角形三线合一的性质证明AD垂直平分CE；（下一步）先将△COD与△EOF填上颜色，动手给CO和OE标上短线，然后出示文字：证明△COD≌△EOF得到OD=OF. 答案：证明：连接CE交AD于点O，如图.由AC=AE得△ACE是等腰三角形.∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC=OE.∵EF∥CD，∴∠EFO=∠CDO.又∵∠COD=∠EOF，∴△COD≌△EOF, ∴OF=OD，∴CE、DF互相垂直平分，∴四边形CDEF是菱形. 初步性问题探究类型之三 矩形的辅助线作法 例5  如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.  师：如何求PD的长？生：过点P分别作两组对边的的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G，利用勾股定理证明.师：利用方程的思想求解几何题目，充分体现了数形结合的数学思想. 解析：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G（动画在图中作出），（下一步）设PG=a，PE=b，PH=c，PF=d，（在图中作出）根据勾股定理有：PA2=a2+b2，PB2=b2+c2，PC2=c2+d2，PD2=d2+a2，  （下一步）所以PA2+ PC2 =PB2+ PD2，（用手将描AP和PC同色，用手将描BP和PD同色，在图中变色，然后再出下一行的文字）所以PD2= PA2+ PC2-PB2.      答案：解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.由四边形ABCD是矩形，易知四边形PFCH,AEFD,EBHP是矩形,设PG=a，PE=b，PH=c，PF=d，（在图中作出）根据勾股定理有：PA2=a2+b2，PB2=b2+c2，PC2=c2+d2，PD2=d2+a2，    所以PA2+ PC2 =PB2+ PD2，所以PD2= PA2+ PC2-PB2=32+52-42=18,所以PD=3. 初步性问题 探究类型之四 正方形的辅助线作法例 6  如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC，且AE=AC，又CF∥AE.求证：∠BCF=∠AEB.  师：如何证明两角之间的数量关系？生：（预设）根据要证的结论和已知条件我们知道即是要证∠AEB=30°.师：如何证明∠AEB=30°？生：（预设）连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H，可证AH=AE.师：非常好，正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.解决正方形的问题时需要作辅助线，连接正方形的对角线是解决正方形问题常用的辅助线. 解析：（用手描一遍BE，AC，再用手描AE,CF两个颜色不同，在图中给AE，AC标上短线，然后出示文字，出完文字，用手在图中标上好∠ACF和∠AEF）证明四边形AEFC是菱形得到∠ACF=∠AEF.（下一步）连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H（动画在图中作出），（下一步）给四边形OAHB填充上红色，△AEH填充上绿色，然后出示文字：在Rt△AHE中证明∠AEH=30°；（下一步）∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°-30°=15°. 答案：证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又∵BE∥AC，AH⊥BE，∴AH⊥AO，∴四边形AOBH为正方形，∴AH=AO=AC.∵AE=AC，∴∠AEH=30°.∵BE∥AC，AE∥CF，∴四边形ACFE是平行四边形.又∵AC=AE,∴平行四边形ACFE是菱形，∴∠AEF=∠ACF=30°.∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠BCF=15°，∴∠BCF=∠AEB. 师：正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.解决正方形的问题时需要作辅助线，连接正方形的对角线是解决正方形问题常用的辅助线. 类似性问题3. 如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）     解析：连接AC，BD（动画在图中作出），（下一步）根据角平分线的判定定理证明点O在AC上，再根据线段垂直平分线的性质得到OB=OD. 4.如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、③、④），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．     解析：延长AE交BC的延长线于点M（动画在图中作出，然后将△ADE与△MCE填充颜色，然后照图中黑色和紫色的线用手标出，然后再出文字），证明△ADE≌△MCE得到AE=ME，∠M=∠DAE；（下一步）进而证明∠M=∠FAE，△AFM为等腰三角形；（下一步）根据等腰三角形三线合一的性质得到EF⊥AE.