2023天津武清区杨村一中高三下学期开学摸底测试数学含答案

2022-2023学年高三年级第二学期开学摸底测试

数学试卷

━、选择题（本题共计9小题，每题5分，共计45分，每题只有一个选项符合题意）

1．已知集合，则（    ）

A．        B．        C．       D．

2．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件     C．既不充分也不必要条件      D．充要条件

3．函数的部分图像大致形状是（    ）

A．   B．   C．   D．

4．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．       B．      C．        D．

5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在的学生人数是（    ）

A．20            B．30           C．40         D．50

6．从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（    ）

A．         B．           C．        D．

7．双曲线的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，若点P的纵坐标为1，，则C的离心率为（    ）

A．         B．          C．         D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（    ）

A．在区间上为增函数    B．   C．    D．

9．已知函数若存在实数t（且），使得成立，则实数k的取值范围是（    ）

A．         B．          C．         D．

二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）

10．已知复数z满足，则z的虚部为__________．

11．的第三项的系数为___________．

12．已知正数a、b满足：直线与圆相切，则的最大值是_________．

13．棱长为a的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱的中点，则直线EF被球O截得的线段长为__________．

14．一个盒子里有5个相同的球，其中2个红球，2个黄球，1个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为_________；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为，则___________．

15．已知平行四边形ABCD的面积为，，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且，则的最小值为______．

三、解答题（本题共计5小题，共计75分）

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）若，求．

17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，四边形ADEF为正方形，平面平面ABCD．，M为线段BD的中点．

（1）求证：平面AFM；

（2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．

18．已知公比的绝对值大于1的无穷等比数列中的前三项恰为中的三个数，为数列的前n项和．

（1）求；

（2）设数列的前n项和为，求证：

19．已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求C的方程；

（2）经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且APM面积为，求k的值．

20．已知函数，

（Ⅰ）若曲线在上单调递增，求a的取值范围；

（II）若在区间上存在极大值M，证明：．

2022-2023学年高三第二学期开学摸底测试答案

1-5．BBCDC      6-9．DBDC

10．        11．320       12．        13．     14．，     15．

16．【详解】（1）由，

得，

则，即．

∵，∴，

又，∴．

（2）在中，，

由余弦定理得，

∵，∴，

∴

17．【详解】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以．

又因为平面平面ABCD，且平面平面平面ADEF，

所以平面ABCD，而平面ABCD，所以，因为，M线段BD的中点，

所以，且平面AFM，所以平面AFM

（2）由（1）知平面ABCD，所以，

又，所以AB，AD，AF两两垂直．

分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．

设，则，

所以，

设平面ACE的一个法向量为，则，即

令，则，则

由（1）知，为平面AFM的一个法向量．

设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，

则

所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．

18．【详解】（1）由已知中的前三项满足，进计算只有满足题意，

故解得．则

①

②

两式相减得．

则

（2）由题意得：

故的最大值即的最小值，即时的最大值，易知

当时，最大且小于0，则最小值为

则最大值为

同理：当时，最小值为

综上可知：

19．【详解】（1）由题意，知，解得

∴椭圆C的方程为．

（2）易知，椭圆的左顶点，

设直线l的方程为，则

由消去y并整理，得．

设，

∴．

∴

∴，∴直线EM的斜率为

∴直线EM方程为，直线AH的方程为．

∴点

∴点M到直线的距离为

∴

∴

∵，解得或1．

20．【详解】（I）由题意得在区间内恒成立，

即在区间内恒成立，

令，则

当时，在区间内单调递减；

当时，在区间内单调递增，故，

所以，所以a的取值范围为；

（II）由（1）知当时，在区间内单调递增，则不存在极大值．

当时，．

，令，则

令，则，

则易知函数在区间内单调递减，

在区间内单调递增．

又，

（易知），

，

令，

所以在上单调递增，

所以，

所以

故存在，使得，

存在，使得，

则当时，；

当时；

当时，，

故在区间内单调递增，

在区间内单调递减，

在区间内单调递增，

所以当时，取得极大值即，

由，得，

由，得，

故