高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1 6　基本不等式课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1 6　基本不等式课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，课时精练，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，内容索引，a0b0，a＝b，x＝y，题组二教材改编，解析∵x2等内容，欢迎下载使用。
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥ (a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，和x＋y有最 值 .(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 时，积xy有最 值 .(简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”.
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示　不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
3.已知函数f(x)＝x＋ ，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为A.(－∞，－2] B.[2，＋∞)C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____ m2.
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
题组三　易错自纠5.函数y＝ (x>0)的最大值为____.
解析　∵x>1，∴x－1>0，
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
命题点1　配凑法例1　(1)已知00且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二　(代入消元法)
所以x＋3y的最小值为6.
引申探究本例条件不变，求xy的最大值.
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
解析　令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4　设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是____.
题型二　基本不等式的综合应用
命题点2　求参数值或取值范围例5　(2021·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为
解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
跟踪训练2　(1)已知不等式(x＋y) ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2 B.4 C.6 D.8
即正实数a的最小值为4，故选B.
(2)若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cs A的最小值是
解析　由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：
当且仅当b＝c时等号成立.
题型三　基本不等式的实际应用
例6　小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
解　设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(00，
所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出.
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解　因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.
(1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)构建数学模型，提升数学建模核心素养.
跟踪训练3　网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_____万元.
设该公司的月利润为y万元，
　　柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立.3.(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
(当且仅当bi＝0(i＝1，2，
一、利用柯西不等式求最值例1　已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为____.
例2　已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为____.
当且仅当y＝12x时，等号成立，
二、利用柯西不等式证明不等式
当且仅当b1＝b2时，等号成立.
KESHIJINGLIAN
1.下列函数中，最小值为2的是
2.已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.
3.若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为A.8 B.6C.4 D.2
解析　依题意ab＝a＋b，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，∴a＋b的最小值为4.
4.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A.60件 B.80件C.100件 D.120件
解析　若每批生产x件产品，
5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则
解析　因为a>0，b>0，a＋b＝1，
6.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是
解析　∵a>0，b>0，
当且仅当a＝b时取等号，
当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立.
7.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ 的最小值为____.
解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0,8b>0，
8.已知实数a，b满足|ln a|＝|ln b|，a≠b，则 的最小值为_____.
解析　因为|ln a|＝|ln b|且a≠b，所以ln a＝－ln b，即ln a＋ln b＝0，所以ln(ab)＝0，所以ab＝1，a>0，b>0，
9.若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为____.
10.命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数a的取值范围是_______________.
解析　依题意∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0恒成立，
11.已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求：(1)xy的最小值；
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，∴xy的最小值为64.
(2)x＋y的最小值.
所以x＋y的最小值为18.
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用.
13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为
当且仅当a＝b时取等号.故选D.
14.正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为____；2x＋y的最大值为______.
解析　∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，
∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
当且仅当2x＝y时，取等号.
15.设a>b>0，则a2＋ 的最小值是A.1 B.2 C.3 D.4
解析　∵a>b>0，∴a－b>0，
16.已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数.
证明　因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，
当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，
(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解　因为a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2,2]使不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2成立.