高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素导学案及答案

第五章　立体几何初步

5．1　基本立体图形

5.1.1　构成空间几何体的基本元素

1．构成空间几何体的基本元素

(1)构成空间几何体的基本元素

①如图所示

②________是构成几何体的基本元素．

③在立体几何中，平面是________，通常画一个________表示一个平面；平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的________的字母来命名．

(2)线动成面

直线平行移动，  可以形成________．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成________．

2．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线与平面的关系

①直线与平面平行：直线与平面________公共点．

②直线与平面相交：直线与平面有且仅有________公共点．

(2)空间中平面与平面的位置关系

①两个平面相交：两个平面有一条公共直线．

特别地，如果两个平面相交，并且其中一个平面通过一个平面的一条垂线，我们说这两个平面________．

②两个平面平行：两个平面________公共点．

答案：1.(1)①各个矩形　相邻两个面　棱和棱　②点、线、面　③无限延展的　平行四边形　对角顶点

(2)平面或曲面　锥面

2．(1)①没有　②一个

(2)①垂直　②没有

研习1  平面概念的理解

[典例1]　下列命题：

①书桌面是平面；

② 8个平面重叠起来，要比2个平面重叠起来厚；

③一个平面的长是20 cm，宽是10 cm；

④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．

其中错误命题的是(　　)

A．①    B．②

C．③    D．④

[自主记]

[分析]　根据平面的概念判断．

[答案]　ABC

[解析]　平面有无限延伸性，故①错，③错，平面是一个抽象的概念，没有厚度，故②错误．

[巧归纳]　立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的．平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的；而立体几何中所说的平面是无大小、厚薄之分的，它类似于以前我们学过的直线，它可以无限延伸，它是不可度量的．

[练习1]　判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)平行四边形是一个平面；

(2)任何一个平面图形都是一个平面；

(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．

解：(1)不正确．平行四边形是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的．

(2)不正确．平面和平面图形是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不能无限延展的．

(3)不正确．在空间图形中，为了增强图形的立体感，都是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住的线画成虚线(无论是图形中原有的，还是后来引入的辅助线).

研习2  构成几何体的基本元素

[典例2]　(1)(多项选择题)下列属于构成几何体的基本元素的是(　　)

A．点        B．线段

C．曲面    D．多边形(不含内部的点)

(2)如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形？

[自主记]

(1)[答案]　ABC

[解析]　空间几何体的基本元素是点、线、面，而非多边形．

(2)[分析]　线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．

[解]　如图所示．

[巧归纳]　1.点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为“基本元素”．

2．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．

3．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．

[练习2]　以下结论中不正确的是(　　)

A．平面上一定有直线

B．平面上一定有曲线

C．曲面上一定无直线

D．曲面上一定有曲线

答案：C

研习3  长方体中基本元素间的位置关系

[典例3]　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延伸为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？

(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？

(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？

(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？

[自主记]

[分析]　细心观察图形，判定与B′C′平行、垂直的平面、与面BC′平行、垂直的平面．

[解]　(1)与直线B′C′平行的平面有：平面AD′，平面AC．

(2)与直线B′C′垂直的平面有：平面AB′，平面CD′.

(3)与平面BC′平行的平面有：平面AD′.

(4)与平面BC′垂直的平面有：平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC．

[巧归纳]　1.解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．

2．长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．

[练习3]　下列关于长方体的叙述不正确的是(　　)

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都互相平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且相等

答案：A

达标篇·课堂速测演习

1．下列结论正确的个数有(　　)

①曲面上可以存在直线；

②平面上可以存在曲线；

③曲线运动的轨迹可形成平面；

④直线运动的轨迹可形成曲面；

⑤曲面上不能画出直线．

A．3个    B．4个

C．5个    D．2个

答案：B

2．下列关于长方体的说法中，正确的是________．(填写正确命题的序号)．

①长方体有六个面；

②长方体的顶点的个数小于长方体的棱的条数；

③将一个水平放置的矩形ABCD(包括其内部)各点沿一定方向移动相同的距离得到矩形A′B′C′D′，所形成的几何体是长方体．

答案：①②　

解析：由长方体的有关概念知①②正确；③中当把矩形ABCD(包括其内部)各点沿竖直方向移动相同的距离时，形成的几何体才是长方体，故③是错误的．

3．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.

(1)该长方体的高为________；

(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；

(3)点A到平面BCC′B′的距离为________．

答案：(1)3 cm　(2)4 cm　(3)5 cm　

解析：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.

4．试指出图中各几何体是由哪些基本元素组成的．

解：①中几何体由6个顶点、12条棱和8个面组成；②中几何体由12个顶点、18条棱和8个面组成；③中几何体由6个顶点、10条棱和6个面组成．

[误区警示]　忽视几何中的线线、线面关系致误

[典例]　下列关于长方体的说法中，正确的是________．

①长方体中有3组对面互相平行：

②在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；

③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；

④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．

[错误解答]　根据长方体中六个面，十二条棱间的相互关系可以判断①②③④都正确．

[错误原因分析]　在对长方体ABCD－A1B1C1D1中的棱AB进行分析时，由于长方体中的棱比较多，忽视了另外的五条棱B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1也与AB是垂直关系．

[正解]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；

这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1, BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④.

[答案]　①③④

[防范措施]　在研究空间几何中点线面的位置关系时，由于几何体中的点线面比较多，一定要养成认真分析、仔细观察的习惯，特别是画出图形分析对正确解题更为必要．