高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台导学案，共7页。
5.1.2　简单多面体棱柱、棱锥、棱台课前篇·自主学习预案1.空间几何体类别定义图示多面体由若干个________围成的几何体旋转体由一个________绕它所在平面内的一条________旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱的结构特征定义有两个面________，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体图示及相关概念底面：两个互相____的面侧面：底面以外的其余各面侧棱：相邻侧面的____顶点：侧面与底面的____分类按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… (2)棱锥的结构特征定义有一个面是______，其余各面都是有一个______的三角形，由这些面所围成的多面体图示及相关概念底面：多边形面侧面：有______的各个三角形面侧棱：相邻____的公共边顶点：各侧面的________分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(3)棱台的结构特征定义用一个________于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面：原棱锥的____下底面：原棱锥的____侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的____顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得，分为三棱台、四棱台……答案：1.平面多边形　顶点　棱　面　平面图形　定直线轴2.(1)互相平行　互相平行　侧面　侧棱　底面　顶点　平行　公共边　公共顶点(2)多边形　公共顶点　公共顶点　侧面　公共顶点(3)平行　截面　底面　公共边课堂篇·研习讨论导案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研习1  几何体的概念[典例1]　(1)(多项选择题)下列命题中，正确的命题是(　　)A．有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．四面体都是三棱锥D.棱锥的各侧棱长相等(2)下列说法中，正确的是(　　)A．有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形[自主记][答案]　(1)BC　(2)A[解析]　(1)A错误，反例：将两个相同的斜平行六面体叠放；B正确，在长方体中可以截出；C正确；D不正确．故选BC．(2)由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知，A正确，B，C，D错误．研习2 　棱柱的结构特征[典例2]　如图，将长方体ABCD－A′B′C′D′截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？并说出它们的名称．[解]　剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；截面EFGH下方部分是五棱柱ABFEA′－DCGHD′，其中五边形ABFEA′和五边形DCGHD′是底面．截面上方部分是三棱柱EFB′－HGC′，其中△EFB′，△HGC′为底面．[延伸探究]1.(变换条件)若本例中，截面如图所示为BCHE，则结论如何？2.(变换条件)若本例中条件“EH∥A′D′”改为“使E与A′重合，F与B重合”，则结论又如何？[自主记]1.解：剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；截面下方部分是四棱柱ABEA′－DCHD′，其中四边形ABEA′和四边形DCHD′是底面．截面上方部分是三棱柱BB′E－CC′H，其中△BB′E，△CC′H为底面．2.解：剩下的几何体不是简单的几何体，截去的几何体是棱台．截去的几何体是三棱台HGC′－A′BB′，其中△HGC′，△A′BB′为棱台的底面．[巧归纳]　棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．研习3  棱锥、棱台的结构特征[典例3]　 如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，截去三棱锥A1－ABC，则剩余的部分是(　　)A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D.五棱锥[自主记][答案]　B[解析]　剩余部分是以面BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥.研习4　多面体的展开图[典例4]　如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[自主记][解]　由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[巧归纳]　立体图形的展开和平面图形的折叠立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的较好方法，解此类问题可以结合常见几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手制作侧面展开图进行实践.达标篇·课堂速测演习1.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)　A．①③    B．②④C．③④    D．①②答案：C　解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.2.棱锥的侧面和底面可以都是(　　)A．三角形    B．四边形C．五边形    D．六边形答案：A　解析：三棱锥的侧面和底面都是三角形.3.一个棱锥至少由几个面构成(　　)A．三个    B．四个C．五个    D．六个答案：B　解析：在所有的棱锥中，只有三柱锥的面数最少，共4个面，故一个棱锥至少由四个面构成，故选B．4.某棱台的上下底面对应边之比为1∶2.则上、下底面面积之比为________．答案：1∶4　解析：面积比等于相似比的平方.[方法技巧]　多面体表面距离最短问题表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决．[示例]　如图所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．[思路点拨]　把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小.[解析]　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.故截面△AEF周长的最小值为6.[题后反思]　有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法(1)函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值．(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解.