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    北师大版高中数学必修第二册2-2-2向量的减法学案
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    北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法导学案及答案

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法导学案及答案,共9页。

    2.2.2 向量的减法

    新课程标准

    学业水平要求

    借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算规则,理解其几何意义.

    1.理解向量减法的定义,掌握向量的减法法则.(数学抽象)

    2.理解向量减法运算的几何意义,能作出两个向量的差向量.(直观想象)

    3.能熟练地进行向量的加、减运算.(数学运算)

     

    课前篇·自主学习预案

                       

    1.相反向量(复习回顾)

    定义

    把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作________

    规定:零向量的相反向量仍是零向量

    性质

    (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(0)________

    (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a(a)(a)a0

    (3)ab0,则a________b________.

     

    2.向量的减法

    定义

    向量a加上b的相反向量,叫作ab的差,即aba(b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法

    几何

    意义

    如图,设ab,则ab,即ab表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

    答案:1.a 0 -b -a

    课堂篇·研习讨论导案

                       

    研习1  向量的减法运算

    [典例1] (1)化简(  )

    A. B0 

    C.   D.

    (2)下列四式中不能化简为的是(  )

    A.()

    B.()()

    C.

    D.

    [自主记]

    (1)[分析] 利用向量的加法、减法法则进行化简运算.

    [答案] B

    [解析] 原式=

    0.

    (2)[答案] D

    [解析] ()()

    ()()()()=-.

    [巧归纳] 满足下列两种形式的可以化简运算

    (1)首尾相连且求和向量;

    (2)起点相同且求差向量.

    解决相关的问题时要观察是否具有这两种形式,同时要注意逆向运用,不可使思维僵化.

    [练习1] 化简下列各式:

    (1)()()

    (2)()()

    解:(1)()().

    (2)()()

    ()

    ()

    0.

    研习2  向量的减法及几何意义

    [典例2] 如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且abc,试用abc表示向量.

    [自主记]

    [分析] 寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三角形或平行四边形法则表示即可.

    [] 四边形ACDE为平行四边形,

    cba

    cacb

    bac.

    [巧归纳] 1.用已知向量表示其他向量时要充分利用平面几何知识,灵活运用三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义.

    2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为:

    观察待表示的向量位置;寻找或作相应的平行四边形或三角形;运用法则找关系,化简得结果.

    [练习2] 如图,在正六边形ABCDEF中,O为中心,若ab,用向量ab表示向量.

    解:解法一:在OAFE中,OF为对角线,且OAOFOE起点相同,应用平行四边形法则,得

    ab.

    =-=-ab.

    =-=-b=-=-a.

    解法二:由正六边形的几何性质,得

    =-a=-b=-=-a.

    OBC中,=-ab.

    解法三:由正六边形的几何性质,得

    =-b=-a.

    OBCD中,=-ab.

    研习3  向量加、减法的综合应用

    [典例3] 如下图,已知OABCD内一点,abc.求证:abc.

    [自主记]

    [分析] 将要表示的向量放在一个三角形中,利用三角形法则进行求解,使问题得以论证.

    [证明] 

    .

    abc.原式成立.

    [巧归纳] 向量加、减法运算几何意义之间的联系和应用

    向量减法应用三角形法则,也可视作向量加法中平行四边形的另一条对角线,在减法运算中可画有关的三角形或平行四边形来解答问题.常用结论如下:

    OACB中,ab.

    (1)|a||b|,则OACB为菱形;

    (2)|ab||ab|,则OACB为矩形;

    (3)|a||b|,且|ab||ab|,则OACB为正方形.

    [练习3] 已知非零向量ab满足|a|1|b|1,且|ab|4.|ab|的值.

    解:如图.

    ab,则|||ab|.

    OAOB为邻边作平行四边形OACB

    |||ab|.

    由于(1)2(1)242

    ||2||2||2

    所以OABAOB90°的直角三角形,

    从而OAOB,所以OACB是矩形,

    根据矩形的对角线相等,有||||4

    |ab|4.

    达标篇·课堂速测演习

    1.如图,在四边形ABCD中,设abc,则等于(  )

    A.abc Bb(ac)

    C.abc Dbac

    答案:A 

    解析:abc,故选A.

    2.已知ABC的三个顶点ABC及平面内一点P满足,下列结论中正确的是(  )

    A.PABC的内部

    B.PABC的边AB

    C.PAB边所在直线上

    D.PABC的外部

    答案:D 

    解析:,可得

    四边形PBCA为平行四边形.

    可知点PABC的外部,选D.

    3.已知|a|6|b|14|c|3,求|abc|的最大值和最小值.

    解:根据三角形法则,可知

    ||b||a|||ab||a||b|

    |abc||ab||c||a||b||c|23.

    且当abc同向时,|abc||a||b||c|

    此时|abc|有最大值23.

    |abc|||ac||b||5

    ac同向且与b异向时,|abc|最小,

    此时|abc|有最小值5.

    |abc|的最大值为23,最小值为5.

    [误区警示一] 忽略特殊情况致误

    [示例1] 已知非零向量abc满足abc0.问:表示向量abc的有向线段能否一定构成三角形?

    [错解] 在平面上任取一点A,作a,再以B为起点作b,则ab.

    abc0,所以c=-(ab)=-,因而abc0时,表示向量abc的有向线段一定构成ABC.

    [错因分析] 条件中并未明确向量abc是否共线,只是强调了abc为非零向量,故错解中忽略了向量abc共线时的情形.

    [正解] (1)ab不共线时,在平面上任取一点A,作a,再以B为起点作b,则ab.

    abc0,所以c=-(ab)=-,因而abc0时,表示向量abc的有向线段一定构成ABC.

    (2)ab共线时,abc0也可成立,此时不能构成三角形.

    [方法总结] 利用向量减法解决平面几何问题,要注意相反向量的应用;同时注意表示向量的有向线段所在直线平行或重合的情况.

    [误区警示二] 对向量减法法则应用失误

    [示例2] 如图,四边形OADB是以向量ab为邻边的平行四边形,试用ab表示.

    [错解] ab

    ba.

    [错因分析] 对向量减法的三角形法则理解不透,导致向量表示错误.如将误写成.

    [正解] ab

    ab.

    [方法总结] 向量减法法则应用三角形法则或平行四边形法则解题时,也可以视作平行四边形的另一条对角线,两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点,在应用中一定要留意这一点.

     

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