北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法导学案及答案
展开2.2.2 向量的减法
新课程标准 | 学业水平要求 |
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算规则,理解其几何意义. | 1.理解向量减法的定义,掌握向量的减法法则.(数学抽象) 2.理解向量减法运算的几何意义,能作出两个向量的差向量.(直观想象) 3.能熟练地进行向量的加、减运算.(数学运算) |
课前篇·自主学习预案 |
1.相反向量(复习回顾)
定义 | 把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作________ 规定:零向量的相反向量仍是零向量 |
性质 | (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=________; (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a=________,b=________. |
2.向量的减法
定义 | 向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法 |
几何 意义 | 如图,设=a,=b,则=a-b,即a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 |
答案:1.-a 0 -b -a
课堂篇·研习讨论导案 |
研习1 向量的减法运算
[典例1] (1)化简+--=( )
A. B.0
C. D.
(2)下列四式中不能化简为的是( )
A.+(+)
B.(+)+(-)
C.-+
D.+-
[自主记]
(1)[分析] 利用向量的加法、减法法则进行化简运算.
[答案] B
[解析] 原式=+++
=+=0.
(2)[答案] D
[解析] +(+)=(+)-=-=;
(+)+(-)=(-)+(+)=;-+=-=;+-=-≠.
[巧归纳] 满足下列两种形式的可以化简运算
(1)首尾相连且求和向量;
(2)起点相同且求差向量.
解决相关的问题时要观察是否具有这两种形式,同时要注意逆向运用,不可使思维僵化.
[练习1] 化简下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
解:(1)(-)-(-)=-=.
(2)(++)-(--)
=+-+(+)
=+-+
=-+
=+(-)
=+=0.
研习2 向量的减法及几何意义
[典例2] 如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
[自主记]
[分析] 寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三角形或平行四边形法则表示即可.
[解] ∵四边形ACDE为平行四边形,
∴==c,=-=b-a,
=-=c-a,=-=c-b,
∴=+=b-a+c.
[巧归纳] 1.用已知向量表示其他向量时要充分利用平面几何知识,灵活运用三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义.
2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为:
①观察待表示的向量位置;②寻找或作相应的平行四边形或三角形;③运用法则找关系,化简得结果.
[练习2] 如图,在正六边形ABCDEF中,O为中心,若=a,=b,用向量a,b表示向量,和.
解:解法一:在▱OAFE中,OF为对角线,且OA,OF,OE起点相同,应用平行四边形法则,得
=+=a+b.
∵=-,∴=-a-b.
而=-=-b,=-=-a.
解法二:由正六边形的几何性质,得
=-a,=-b,=-=-a.
在△OBC中,=+=-a-b.
解法三:由正六边形的几何性质,得
=-b,=-a.
在▱OBCD中,=+=-a-b.
研习3 向量加、减法的综合应用
[典例3] 如下图,已知O为▱ABCD内一点,=a,=b,=c.求证:=a-b+c.
[自主记]
[分析] 将要表示的向量放在一个三角形中,利用三角形法则进行求解,使问题得以论证.
[证明] ∵=,=-,=-,
∴-=-.
∴=-+=a-b+c.∴原式成立.
[巧归纳] 向量加、减法运算几何意义之间的联系和应用
向量减法应用三角形法则,也可视作向量加法中平行四边形的另一条对角线,在减法运算中可画有关的三角形或平行四边形来解答问题.常用结论如下:
在▱OACB中,=a,=b.
(1)若|a|=|b|,则▱OACB为菱形;
(2)若|a+b|=|a-b|,则▱OACB为矩形;
(3)若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则▱OACB为正方形.
[练习3] 已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4.求|a+b|的值.
解:如图.
设=a,=b,则||=|a-b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,
则||=|a+b|.
由于(+1)2+(-1)2=42,
故||2+||2=||2,
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形,
从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形,
根据矩形的对角线相等,有||=||=4,
即|a+b|=4.
达标篇·课堂速测演习 |
1.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于( )
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
答案:A
解析:=-=+-=a-b+c,故选A.
2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,下列结论中正确的是( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在直线上
D.P在△ABC的外部
答案:D
解析:由+=,可得
=-=,
∴四边形PBCA为平行四边形.
可知点P在△ABC的外部,选D.
3.已知|a|=6,|b|=14,|c|=3,求|a+b+c|的最大值和最小值.
解:根据三角形法则,可知
||b|-|a||≤|a+b|≤|a|+|b|,
∴|a+b+c|≤|a+b|+|c|≤|a|+|b|+|c|=23.
且当a,b,c同向时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|,
此时|a+b+c|有最大值23.
又|a+b+c|≥||a+c|-|b||=5,
当a,c同向且与b异向时,|a+b+c|最小,
此时|a+b+c|有最小值5.
∴|a+b+c|的最大值为23,最小值为5.
[误区警示一] 忽略特殊情况致误
[示例1] 已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0.问:表示向量a,b,c的有向线段能否一定构成三角形?
[错解] 在平面上任取一点A,作=a,再以B为起点作=b,则=a+b.
又a+b+c=0,所以c=-(a+b)=-=,因而a+b+c=0时,表示向量a,b,c的有向线段一定构成△ABC.
[错因分析] 条件中并未明确向量a,b,c是否共线,只是强调了a,b,c为非零向量,故错解中忽略了向量a,b,c共线时的情形.
[正解] (1)当a,b不共线时,在平面上任取一点A,作=a,再以B为起点作=b,则=a+b.
又a+b+c=0,所以c=-(a+b)=-=,因而a+b+c=0时,表示向量a,b,c的有向线段一定构成△ABC.
(2)当a,b共线时,a+b+c=0也可成立,此时不能构成三角形.
[方法总结] 利用向量减法解决平面几何问题,要注意相反向量的应用;同时注意表示向量的有向线段所在直线平行或重合的情况.
[误区警示二] 对向量减法法则应用失误
[示例2] 如图,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,试用a,b表示.
[错解] ∵=a,=b,
∴=-=b-a.
[错因分析] 对向量减法的三角形法则理解不透,导致向量表示错误.如将=-误写成=-.
[正解] ∵=a,=b,
∴=-=a-b.
[方法总结] 向量减法法则应用三角形法则或平行四边形法则解题时,也可以视作平行四边形的另一条对角线,两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点,在应用中一定要留意这一点.
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