高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第1课时　范围与最值问题

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题型一 范围问题
例1 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，直线x＋eq \r(3)y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
解 (1)因为原点到直线x＋eq \r(3)y－1＝0的距离为eq \f(1,2).
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＝b2(b>0)，解得b＝1.
又e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，得a＝2.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，
所以y1y2＝eq \f(12,m2＋4).
λ＝|MA|·|MB|＝eq \r(m2＋1)|y1|·eq \r(m2＋1)|y2|＝(m2＋1)·|y1y2|＝eq \f(12m2＋1,m2＋4)＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,m2＋4))).
由m2>12，得00，
可知k>0，b>0，
因为|CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝aeq \r(1＋k2)，
点O到直线CD的距离d＝eq \f(|b|,\r(1＋k2))，
所以S1＝eq \f(1,2)·aeq \r(1＋k2)·eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)ab.
又S2＝eq \f(1,2)(y1＋y2)·|x1－x2|＝eq \f(1,2)·eq \f(2p,k)·a＝eq \f(ap,k)，
所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(kb,2p)，
因为00)过点M(2,3)，
可得eq \f(4,16)＋eq \f(9,b2)＝1，解得b2＝12.
所以C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝m，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))
可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
即d＝eq \f(8＋4,\r(1＋4))＝eq \f(12\r(5),5)，
由两点之间的距离公式可得
|AM|＝eq \r(2＋42＋32)＝3eq \r(5).
所以△AMN的面积的最大值为eq \f(1,2)×3eq \r(5)×eq \f(12\r(5),5)＝18.
命题点2 代数法求最值
例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
解 (1)由题意得椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
∵椭圆E经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，∴eq \f(1,2b2)＋eq \f(\f(1,2),b2)＝1，解得b2＝1.
∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)∵点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
∴x1＋x2＝eq \f(－8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(8k2－2,1＋2k2)，
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得0≤k20，故x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5\r(3),2).
∴点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0，点B(6,0)．
设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2)，
于是eq \f(|m＋6|,2)＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))2＋15，
由于－6≤x≤6，
由f(x)＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))2＋15的图象可知，
当x＝eq \f(9,2)时，d取最小值，且最小值为eq \r(15).
课时精练
1．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为eq \f(1,2)，|AB|＝eq \r(5).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝my－1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．
解 (1)由已知得A(－a,0)，B(0，b)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,\r(a2＋b2)＝\r(5)，))可得a2＝4，b2＝1，
则椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my－1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(m2＋4)y2－2my－3＝0.
Δ＝(2m)2＋12(4＋m2)＝16m2＋48>0，
y1＋y2＝eq \f(2m,m2＋4)，y1y2＝eq \f(－3,m2＋4)，
由题意得∠MON为锐角，即eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))>0，
∴eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2>0，
又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1.
∴x1x2＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝(1＋m2)·eq \f(－3,4＋m2)－eq \f(2m2,4＋m2)＋1＝eq \f(1－4m2,4＋m2)>0，
∴m2b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，短轴一个端点到右焦点的距离为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为eq \f(\r(3),2)，求△AOB面积的最大值．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a＝\r(3)，))
∴c＝eq \r(2)，b＝1，∴所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，得m2＝eq \f(3,4)(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0.
∴x1＋x2＝eq \f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq \f(3m2－1,3k2＋1).
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(36k2m2,3k2＋12)－\f(12m2－1,3k2＋1)))
＝eq \f(12k2＋13k2＋1－m2,3k2＋12)＝eq \f(3k2＋19k2＋1,3k2＋12)
＝3＋eq \f(12k2,9k4＋6k2＋1)＝3＋eq \f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)(k≠0)
≤3＋eq \f(12,2×3＋6)＝4.
当且仅当9k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±eq \f(\r(3),3)时等号成立．
当k＝0时，|AB|＝eq \r(3)，综上所述|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值
S＝eq \f(1,2)×|AB|max×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
5．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线y＝x－eq \r(3)相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．
解 (1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
因为它与直线y＝x－eq \r(3)只有一个公共点，
所以方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－\r(3)))只有一组解，
消去y，整理得(a2＋b2)·x2－2eq \r(3)a2x＋3a2－a2b2＝0.
所以Δ＝(－2eq \r(3)a2)2－4(a2＋b2)(3a2－a2b2)＝0，
化简得a2＋b2＝3.
又焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以a2－b2＝1，联立上式解得a2＝2，b2＝1.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0)，
则S四边形PMQN＝eq \f(|PQ|·|MN|,2)＝eq \f(2\r(1－\f(1,2))×2\r(2),2)＝2.
若直线PQ的斜率存在，设为k(k≠0)，
则直线MN的斜率为－eq \f(1,k).
所以直线PQ的方程为y＝kx＋k，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋k，))
化简得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝eq \f(－4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1)，
所以|PQ|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(\r(1＋k2[16k4－42k2－22k2＋1]),2k2＋1)＝2eq \r(2)×eq \f(k2＋1,2k2＋1)，
同理可得|MN|＝2eq \r(2)×eq \f(k2＋1,2＋k2).
所以S四边形PMQN＝eq \f(|PQ|·|MN|,2)＝4×eq \f(k2＋12,2＋k22k2＋1)＝4×eq \f(k4＋2k2＋1,2k4＋5k2＋2)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\f(1,2)k2,2k4＋5k2＋2)))
＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(k2,4k4＋10k2＋4)))＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10))).
因为4k2＋eq \f(4,k2)＋10≥2eq \r(4k2·\f(4,k2))＋10＝18(当且仅当k2＝1时取等号)，
所以eq \f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,18)))，所以4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，2)).
综上所述，四边形PMQN面积的最小值为eq \f(16,9).